微分方程特解 二阶微分方程通解例题

二次非齐次微分方程的一般解法 一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x) 第一步:求特征根 令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²) 第二步:.

很简单 解答如下 解:xy'+y=x^2+2化为(x^2-y+2)dx-xdy=0 可以令m(x,y)=x^2-y+2,n(x,y)=-x m(x,y)关于y的偏导是-1,n(x,y)关于x的偏导是-1,则该微分方程是恰当方程 令初始条件y.=y(x.) 得到(x,x.)∫(x^2-y+2)dx-(y,y.)∫x.dy=0 从而得到 通积分x^3/3-yx+2x=c(c为常数) 这里说明的是,计算到通积分即可,通积分是通解的隐函数表达形式. 也可以写成通解的形式,但会遇到x是否为零的讨论,所以还是写成通积分的形式较为简单.

y''+3y'+2y=3e^(-2x) (1)先求齐次方程的通解 特征方程 r²+3r+2=0 (r+2)(r+1)=0 得r=-1或r=-2 所以齐次通解y=c1e^(-x) + c2e^(-2x) (2)再求非齐次的特解 根据已知λ=-2是特征方.

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程. 微分方程的解是一个符合方程的函数. 比如: y'=x 就是一个微分方程 解法: dy/dx=x dy=xdx dy=1/2 dx^2 则 y=1/2 x^2+c

该微分方程的特征方程是:r^2-5r+6=0 解得:r=2或r=3 而λ=2是特征方程的单根,所以应设特解为:y*=x*(ax+b)e^(2x) 总结:对于微分方程的等式右端中的f(x)=e^kx,1.若k不是特征放方程的根,则特接应设为y*=Qm(x)*e^kx,2.若m 是特征方程的单根,则特解应设y*=xQm(x)*e^kx,3.若m是特征方程的重根,则特解应设为y*=x^2Qm(x)*e^kx..以上Qm(x)=a0*x^m+a1*x^(m-1)+a2*x^(m-2)+..+am*x^0

定义:若微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称此解为微分方程的通解;而若微分方程的解不含任意常数,则称为微分方程的特解

令y'=p(y),则y''=p*dp/dy,原微分方程化为:y^3*pp'+1=0,即pdp=-y^(-3)dy,两边积分得1/2*p^2=1/2*y^(-2)+1/2*c1 由x=1时,y=1,p=y'=0得c1=-1,所以p^2=y^(-2)-1,y'=p=±√(1-y^2)/y 分离变量:±y/√(1-y^2)dy=dx 两边积分:±√(1-y^2)=x+c2 由x=1时y=1得c2=-1,所以:±√(1-y^2)=x-1 两边平方得原微分方程的特解:(x-1)^2+y^2=1

通解是指满足这种形式的函数都是微分方程的解,例如y'=0的通解就是y=C,C是常数.通解是一个函数族 特解顾名思义就是一个特殊的解,它是一个函数,这个函数是微分方程的解,但是微分方程可能还有别的解.如y=0就是上面微分方程的特解.特解在解非其次方程等一些微分方程有特殊的作用

1、1+e^(-x)=e^x/(1+e^x),分子是分母的导数,所以 dx/[1+e^[-(x)]=1/(1+e^x)d(e^x) 2、右边ln[1+e^[-(x)]+lnC' 写错了吧?前面应该是ln[1+e^x],至于用lnC'而不用C',是因为式子的前两项都是对数的形式,为了化简方便,这里用lnC'比C'要简单,否则还是要把e^(C')看作新的任意常数的 这里左边的对数实际上不用加绝对值,写作ln(cosy)即可 3、消掉对数运算有什么不理解的呢?

(1)dy/(1-y²)=tanxdx 两边积分,1/2*ln|(y+1)/(y-1)|=ln|secx|+c1(y+1)/(y-1)=csec²x(2)对应的齐次方程为dy/dx=-2tanx*y dy/y=-2tanxdx ln|y|=2ln|cosx|+c1 y=ccos²x 把c换成u=u(x),则y'=u'cos²x+u*2cosx*(-sinx) 代入原方程得u'cos²x-2usinxcosx+2ucos²xtanx=sinx u'=sinx/cos²x u=1/cosx+c ∴y=cosx+ccos²x