变量可分离方程的通解 微分方程

方程两边同时乘以x^2得 x^2*y' 2x*y=x^4 而(x^2*y)'=x^2*y' 2x*y 所以:(x^2*y)'=x^4 积分得:x^2*y=(x^5)/5 a 即:y=(x^3)/5 a/(x^2)

dy/dx=√(1-y^2) 解:分离变量得:dy/√(1-y^2)=dx 两边积分得通解:arcsiny=x+C 或:y=sin(x+C)

1、方程写作(xy)'=xyln(xy)/x,令u=xy,微分方程化为du/dx=ulnu/x,分量变量du/(ulnu)=dx/x,两边积分ln(lnu)=lnx+lnc,所以lnu=cx,原方程的通解是lnx+lny=cx. 2、方程写作y'+cosx=(y+sinx-1)^2,令u=y+sinx-1,微分方程化作du/dx=u^2,分量变量du/u^2=dx,两边积分-1/u=x+c,所以原方程的通解是-1/(y+sinx-1)=x+c或者y=-1/(x+c)-sinx+1.

可分离变量方程就是所有y的函数和dy可以放在一边,所有x和dx可以放在另一边,分别积分即可.齐次方程是指当把y/x当成一个整体t时,被积函数是t的函数,可以用换元法解,被积函数直接代入就换了,y=xt, dy=xdt+t,解得t,再换回t=y/x即可.一阶线性方程直接用通解公式,但是要先化成标准形式,用y'比dy/dx简便.通解公式只有一个:y'+p(x)y =q(x)的解为e^积分(-p)*{[积分q*(e^积分p)]+C}.

令x+y=u,dx+dy=du,1+dy/dx=du/dx,因此得 du/dx-1=u^2,或者du/dx=1+u^2,du/(1+u^2)=dx arctan u=x+C u=tan(x+C),x+y=tan(x+C),y=tan(x+C)-x.

dy/y=-dx/x 两边积分可得 lny=-lnx+C y=C'/x

设u=xy,则du=ydx+xdy,y=u/x原方程变为(u+1)ydx+(1+u+u^2)(du-ydx)=0,∴(1+u+u^2)du=u^3dx/x,∴(1/u^3+1/u^2+1/u)du=dx/x,可以吗?

y''-2y'+2y=0 令y=e^{αx}为原方程的解,代入化简可得: α^2-2α+2=0 解得:α=1+i,或α=1-i 从而原方程的通解可以表达为: y=a*e^{(1+i)x}+b*e^{(1-i)x}=e^{x}[a*e^{ix}+b*e^{-ix}] 利用e^{ix}=cosx+isinx 得:y=e^{x}[(a+b)*cosx+(a-b)i*sinx] 令a+b=c,(a-b)i=d 得原方程的通解为:y=e^{x}(c*cosx+d*sinx)

解:∵xydx+(x^2+1)dy=0 ==>dy/y+xdx/(x^2+1)=0 ==>ln│y│+(1/2)ln(x^2+1)=ln│C│ (C是常数) ==>y√(x^2+1)=C ∴原方程的通解是y=C/√(x^2+1).

分离变量,2xdx/(x²-1)=2ydy/(1-y²)ln(x²-1)=-ln(y²-1)+lnC通解(x²-1)(y²-1)=C