已知函数f(x)对任意x1，x2∈R，总有（x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,不等式f(3a-x)≤f(x+a^2)对任意x∈（a-1,a？

已知函数f(X)的定义域为R，对任意实数x1、x2总有f(X1+X2)+f(X1-x2)=2f(X1)(X2)成立求证：f(X)是偶函数

首先令x1=x2=0，所以f(0+0)+f(0-0)=2f(0)(0),所以2f(0)=2f(0)的平方,解得f(0)=1

再令x1=0,x2=x,所以f(0+x)+f(0-x)=2f(0)(x),解得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=2f(x),所以 f(-x)=f(x),所以函数是偶函数

令x1=-1 x2=1

则f（-1）=f(1)=f(-1)所以

f（1）=0

令x1=-1 x2=-1

则f（1）=2f（-1）

所以f（-1）=0

令x1=x x2=-1 x属于其定义域

则 f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）

所以f（x）为偶函数

首先取x1=x2=x/2 =>f(x)=f(x/2)^2>=0

任取x1<x2

f(x2)=f(x1)*(f(x2-x1))<f(x1)=>f(x)在R上为单调递减函数

f(x^2)f(y^2)＞f(1)<=>f(x^2+y^2)>f(1)<=>x^2+y^2<1

f(ax-y+2)=1 <=>f(ax-y+2)=f(0) <=>ax-y+2=0

若A∩B=空集表示ax-y+2=0与x^2+y^2<1无交集<=>(0,0)到ax-y+2=0距离不小于1

<=>2/sqrt(a^2+1)>=1<=>a^2+1<=4<=>-sqrt(3)<a)<sqrt(3)

由（ f(x1)-f(x2) )/（x1-x2）＜0

可知f(x)是减函数,

由α=λ /(1+λ) β=1/(λ+1)

可知α, β分别为数轴上0,1两点的定比分点,

λ=0时α, β分别与点0,1重合,If（α）-f（β）I=If（1）-f（0）|

λ>0时α, β都是点0,1的内分点,λ>0时α, β都是点0,1的内分点,

If（α）-f（β）I<If（1）-f（0）|

λ<0时α, β都是点0,1的外分点,If（α）-f（β）I>If（1）-f（0）|

所以λ<0且λ≠-1.