反常积分的敛散性判别 敛散性判断方法

0~1 时 lim(x→0) x^m/[x^m/(1+x^n)]=1 故∫[x^m/(1+x^n)]dx与∫x^mdx同时敛散.m>=0时所给积分是常义积分,作为反常积分仅在-11~正无穷时 lim(x→+∞) x^(m-n)/[x^m/(1+x^n)]=1 故∫[x^m/(1+x^n)]dx与∫x^(m-n)dx同时敛散.n-m>1时∫x^(m-n)dx收敛.

判断积分的敛散性有两种方法:1. 广义积分,improper integral,积分的方法,是套用公式,在国内称为凑微分法.2. 代入上、下限,上限是无穷大,用取极限得到的是0,代入下限得到结果.能得到结果,也就是说,能得到具体数字答案的,就算收敛的.扩展内容:图片题目答案为B解析如下:

a>1即可,因为ln(1+x^2)/x^a

在瑕点x = 1处, 被积函数与ln(1-x)^(2/m)是等价无穷大, 比(1-x)^(-1/2)低阶, 从而积分一定收敛.在瑕点x = 0处, 被积函数与x^(2/m-1/n)等价, 由m, n是正整数, 2/m-1/n > -1, 积分同样一定收敛.因此收敛性与m, n取值都无关.

关于瑕积分敛散性的判别,通常的判别法比较单一,又由于判别法本身的局限性,使许多瑕积分的敛散性难以判定.选择合适的判别法对于无穷限瑕积分的敛散性来说显得非常重要.ju个例子:∫0到1 dx/三次根号下(x(e^x-e^-x)的敛散性如何判断?解: x->0时,e^x-e^(-x) -> (1+x)-(1-x) = 2x 于是原式变成 dx/((2x^2)^(1/3)) = 2^(-1/3) * x^(-2/3) dx 于是收敛.

无穷限积分∫【1,+∞】1/x^(4/3)dx 是收敛的 瑕积分∫【0,1】1/x^(4/3)dx是发散的,被积函数在x=0时无界题目中要讨论的是无穷限积分,被积函数在x=0时有界你把二者搅在一起了

可以直接求,有解就是收敛,没解就是发散

(A) ∫<-∞, -1> dx/x^(1/3) = (3/2)[x^(2/3)] <-∞, -1> = -∞, 发散;(B) ∫<1, +∞> dx/x^4 = (-1/3)[1/x^3]<1, +∞> = 1/3, 收敛;(C) ∫<2, +∞> dx/[x(lnx)^2] = ∫<2, +∞> dlnx/(lnx)^2= - .

收敛的 ,瑕点仅一个x=1 在x趋于1时,求积函数与(x-1)的(-1/2)次方等价 所以是收敛的 判断规则:有限点 a处 求积函数与(x-a)的p次方等价 ,其中p>-1 即收敛 无穷远点 处 求积函数与x的q次方等价 ,其中q 当然本题可以直接积分出来 原函数是 2arctan(根号(x-1)) x趋于1时,原函数极限是0

∫(0,+∞)sinx/x^(3/2)dx=∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx+∫(1,+∞)sinx/x^(3/2)dx 对∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx ∵lim(x→0)[1/x^(1/2)]/[sinx/x^(3/2)]=1 q=1/21 ∴∫(1,+∞)sinx/x^(3/2)dx收敛. 总之,∫(0,+∞)sinx/x^(3/2)dx收敛.