偶函数用积分法咋证明 偶函数积分为0

函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D,当x∈D时,-x∈D.∵f(x)在区间D上是奇函数,函数y=g(x)在区间D上是奇函数,∴对任意x∈D有 f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)成立,∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x) 即对任意x∈D有 G(-x)=G(x)成立.故G(x)为偶函数.所以两个奇函数的积是偶函数.

利用极限求出断点的函数值!在分段积分!

第一个被积函数为奇函数,积分区间对于原点对称,则为0 第二个先凑微分,arcsinx求导分母就是根号1-x^2

奇偶函数在定积分运算中的有关定理和结论:定积分定义:

原式=∫(x-3)(4-x²)½dx=∫x(4-x²)½dx-∫3(4-x²)½dx(上限2下限-2) 设f(x)=x(4-x²)½,g(x)=3(4-x²)½ 因为f(-x)=-x(4-x²)½=-f(x),所以f(x)为奇函数 因为g(-x)=3(4-x²)½=g(x),所以g(x)为偶函数 所以原式=0-2∫3(4-x²)½dx (上限2,下限0)=-6∫(4-x²)½dx =-6π (其中定积分是一个以2为半径的圆的面积的1/4)

首先,定义域对称 其次,F(0)=0 第三,F(X)=F(-X)

F(x)=∫[0,x] (x-2t)f(x) dt,所以 F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(-x) dt,由f是偶函数知f(-x)=f(x),所以 F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(x) dt.对积分做换元s=-t,得 F(-x)=∫[0,-x] (-x-2t)f(x) dt=∫[0,x] (-x+2s)f(x) -ds=∫[0,x] (x-2s)f(x) ds=∫[0,x] (x-2t)f(x) dt(积分变量可随意更换)=F(x),所以F(x)也是偶函数

把他拆成两个积分 a到0 0到x a到0上是一个常数 0到x是一个偶函数 偶函数加常数仍然是偶函数 其实积分变换可以证明 只是你的过程有问题

∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x) f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx , (打字不便,lim下的Δx→0省略) 说明①:注意增量Δx是可正可负的 f'(-x)=lim[f(-x+Δx)-f(-x)]/Δx=lim[-f(x-Δx)+f(x)]/Δx=lim[f(x-Δx)-f(x)]/(-Δx) 由上面说明①,(-Δx)亦表示自变量的增量 ∴f'(-x)=lim[f(x-Δx)-f(x)]/(-Δx) =lim[f(x+(-Δx))-f(x)]/(-Δx)=f '(x) ∴f '(x) 是偶函数

如图