已知a>0,b>0.a(1-a)+(a-b)^2=a^3+b^3,则(2a^2)/(a+3b)+(2b^2)/(3a+b)的最小值为
已知a>0.b>0.a+b=1，求证
两边同乘以ab，a+b+1≥8ab
因为a+b=1，1+1≥8ab --> 1≥4ab
因为 (a-b)平方≥0 所以 a平方+b平方-2ab≥0
两遍+4ab，a平方+2ab+b平方≥4ab --> (a+b)平方≥4ab
因为a>0, b>0 且a+b=1, 所以1≥4ab，即不等式得证。
已知a>0,b>0,a+b=1
(1)左边=1 1/a 1/b 1/ab
=1 2(1/a 1/b)
=1 2(2 a/b b/a)>=1 2(2 2)=9
当且仅当a=b=1/2时取等号
(2)证明：令 x =√ (a 1/2),
y =√ (b 1/2).
则 a =x^2 -1/2,
b =y^2 -1/2.
所以 1 =a b
=x^2 y^2 -1,
所以 x^2 y^2 =2.
由均值定理,
2 =x^2 y^2
≥2xy,
所以 (x y)^2 =x^2 y^2 2xy
≤4.
所以 x y ≤2. (x, y>0).
即 √ (a 1/2) √ (b 1/2) ≤2
(3)左式=ab a/b 1/ab b/a
=(a^2b^2 a^2 1 b^2)/ab
=[a^2b^2 (1-2ab) 1]/ab
=[(ab-1)2 1]/ab
(ab-1)2 1≥25/16,0<ab≤1/4,所以左式≥25/4.
已知a>0,b>0,a^2+（b^2）/2=1,求z=a√(1+b^2)的最大值
a²+b²/2=1
3=2a²+(b²+1)>=2√[2a²(b²+1)]
√[a²(1+b²)]<=3/(2√2)
a√(1+b²)<=3√2/4
所以最大值时3√2/4
已知a>b>0求证1/a<1/b
a>b>0
∴ab>0
a>b
左右同除以ab,不等式不变
∴a/ab>b/ab
1/b>1/a
即1/a<1/b
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