为什么y=1/x的反函数是它本身？(y=1/x有反函数吗)

y=1/x有反函数吗

有。

“为什么有？”“唯一吗？”这两个问题非常容易出错。

1.为什么有？

因为从y=1/x中解出x=1/y,x与y仍然构成函数关系，即任何一个y值只有一个x值与之对应。所以y=1/x存在反函数y=1/x.

说“因为定义域上单调才有反函数”，对y=1/x而言是错误的。其原因y=1/x在定义域上“分段”单调。即在（-∞，0）和（0，+∞）上“分别”是减函数。

结论：“单调函数”是“存在反函数”的充分非必要条件。

2. “此函数是唯一的反函数为其本身的函数”吗？

我们看到原函数y=1/x的反函数是它本身。

这样的函数是唯一的吗？

当然不是。

反函数为其本身的函数有无数个。

如y=x, y=x (x>1),……

几何意义：只要函数图象以y=x为对称轴，这个函数的反函数是它本身。（充要条件）

由此，我们得到一个非常有用的结论，它能把几何问题转化为代数问题来证。

结论：要证明一个函数的图象关于y=x对称，只要证明这个函数的反函数是它本身就行了。

奇函数当然不一定有反函数，对勾函数就是奇函数，它没有反函数。y=1/x的反函数就是它本身，没有问题

y=1/x-x=(1-x^2)/x

所以

x^2-1+xy=0

解这个方程可得

x=[-y+√ (y^2+4)]/2 或 x=[-y-√ (y^2+4)]/2

y=1/x-x的反函数时只要把x变为y ,y变为x 就可以了

当X>0时反函数是y=[-x+√ (x^2+4)]/2

当X<0时反函数是y=[-x-√ (x^2+4)]/2

y=1/x

x=1/y

反函数：y=1/x (x≠0)

可见，y=1/x的反函数就是它自己。从y=1/x的图象也不难看出，y=1/x的图象关于y=x对称。