正整a与b，使得ab+1整除a~2+b~2.求证a~2+b~2/ab+1是某个正整数的平方？

第29届IMO第6题答案(试题为:正整a与b,使得ab+1整除a~2+b~2.求证a~2+b~2/ab+1是某个正整数的平方.

高等教育出版社 出版的 数学分析教程 里第一章第一节的课后思考题里有,而且书最后有详解

设ab为正数 求证(a+b)/2≥2/(1/a+1/b)

ab为正数则(a+b)/2=(1/2)*[a+b]=(1/2)[1/(1/a)+1/(1/b)]≥(1/2)(1+1)^2/(1/a+1/b) (柯西不等式)=2/(1/a+1/b)∴(a+b)/2≥2/(1/a+1/b)

设a与b为自然数,使得a∧2+ab+1可以被b∧2+ab+1整除,证明,a=b

设a^2+ab+1=k(b^2+ab+1)a^2+ab+1=kb^2+abk+k左右对照第三项可知k=1a^2+ab+1=b^2+ab+1a^2=b^2因为a,b是正整数所以a=b(第一项无法对照,因为设的k是常数,第二项也可以对照,也是k=1)

设a与b是正整数,(a,b)=1,证明:1,2,.,ab - a - b中恰有(a - 1)(b - 1)/2个整数可以表示成ax+by的形式

kb,一共k个..证明;b]个,a中是b的倍数的数有b,其中k是正整数:设a=bk+r. 由于a=bk+r, 其中k是正整数,0≤r

设a,b为正数,求证:(a+b)/2≥2/(1/a+1/b)

1、(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b 因为a,b为正数,所以b/a+a/b≥2 ∴(a+b)(1/a+1/b)≥4 ∴(a+b)/2≥2/(1/a+1/b) 2、若a+b=2√ab,则 a+b-2√ab=0 (√a-√b)^2=0 √a=√b a,b为正数 a=b 若a=b时 a+b-2√ab=(√a-√b)^2=0 ∴a,b为正数,则a+b=2√ab,此式当且仅当a=b时取“=”号

已知a,b是正实数,求证(a+1)/b+(b+1)/a+2=2/ab的充要条件是a+b=1

两边同时乘以ab 然后把式子展开最后就可以看到完全平方公式 然后就可以求证出来了

设a,b均为正实数,求证1/a²+1/b²+ab≥2√2求解

∵a,b均为正实数∴1/a²+1/b²≧2/ab当且仅当:1/a²=1/b²==>a=b----(1)∴2/ab+ab≧2√2当且仅当:2/ab=ab==>ab=√2----(2)由(1)(2)得:a=b=√(√2)所以当:a=b=√(√2)时,1/a²+1/b²+ab最小值为2√2所以:1/a²+1/b²+ab≥2√2

a,b为正实数,若A+B=1,求证; (A+1/A2)2+(B+1/B2)2大于等于81/2

证明∶ a+b=1 ﹙a+b﹚²=1=a²+b²+2ab 所以a²+b²=1-2ab a+b≥2√ab 即2√ab≤1 所以ab≤1/4 ﹙a+1/a²﹚²+﹙b+1/b²﹚²=a²+b²+2/a+2/b+1/a^4+1/b^4=1-2ab+.

求证1/a+1/b 与 2/(a+b) 的大小关系

解:∵﹙1/a+1/b﹚÷2/﹙a+b﹚ =﹙a+b﹚²/2ab ≥2ab/2ab=1 ∴ 1/a+1/b≥2/﹙a+b﹚.

证明:如果整数a,b满足(a,b)=1,那么(a+b,a - b)=1或者2

设(a+b,a-b)=k,(k为整数) 则存在两个互质的整数m,n使得:a+b=mk,a-b=nk 解得:a=(m+n)k/2,b=(m-n)k/2 由题意:((m+n)k/2,(m-n)k/2)=1 若m,n同为奇数,则m+n,m-n都为偶数,((m+n)k/2,(m-n)k/2)=k=1 若m,n为一个奇数、另一个为偶数,则m+n,m-n都为奇数,则k为偶数,此时,k=2