定积分分部积分法例题

定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算函数在某个区间上的累积效应。分部积分法是求解定积分的一种常用方法，尤其适用于被积函数可以表示为两个函数的乘积的情况。本文将通过几个例题来详细介绍定积分分部积分法的应用。

例题1：计算定积分 $\int_0^1 x e^x \, dx$

首先，我们选择两个函数 $u(x)$ 和 $v(x)$，使得被积函数可以表示为 $u(x) v'(x)$。在这里，我们可以选择 $u(x) = x$ 和 $v'(x) = e^x$。根据分部积分公式：

\int u \, dv = uv - \int v \, du

我们需要找到 $u$ 和 $v$ 的导数和积分：

- $u(x) = x$，所以 $du = dx$

- $v'(x) = e^x$，所以 $v(x) = \int e^x \, dx = e^x$

将这些代入分部积分公式中：

\int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx

计算定积分的上下限：

\left[ x e^x \right]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0 = e

接下来计算 $\int_0^1 e^x \, dx$：

\int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

将结果代入原式：

\int_0^1 x e^x \, dx = e - (e - 1) = 1

因此，定积分 $\int_0^1 x e^x \, dx$ 的值为 1。

同样地，我们选择 $u(x) = x$ 和 $v'(x) = \sin x$。根据分部积分公式：

\int u \, dv = uv - \int v \, du

我们需要找到 $u$ 和 $v$ 的导数和积分：

- $u(x) = x$，所以 $du = dx$

- $v'(x) = \sin x$，所以 $v(x) = \int \sin x \, dx = -\cos x$

将这些代入分部积分公式中：

\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ x (-\cos x) \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos x) \, dx

计算定积分的上下限：

\left[ x (-\cos x) \right]_0^{\pi} = \pi (-\cos \pi) - 0 (-\cos 0) = \pi (-(-1)) - 0 = \pi

接下来计算 $\int_0^{\pi} \cos x \, dx$：

\int_0^{\pi} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_0^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0

将结果代入原式：

\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \pi - 0 = \pi

因此，定积分 $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx$ 的值为 $\pi$。

通过以上两个例题，我们可以看到分部积分法在求解定积分中的强大作用。分部积分法的关键在于选择合适的 $u(x)$ 和 $v'(x)$，使得积分过程简化。掌握分部积分法不仅可以帮助我们解决复杂的定积分问题，还能加深对微积分基本概念的理解。