-A与A 的特征值有什么关系？为什么？(A的特征值与A*的特征值之间有什么关系？)

A的特征值与A*的特征值之间有什么关系？

||当A可逆时, 若 λ是A的特征值, α 是A的属于特征值λ的特征向量；

则 |A| / λ 是 A*的特征值, α 仍是A*的属于特征值 |A| / λ 的特征向量。

特征值基本定义

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

若B可逆，则原关系式可以写作

Aν=λν ，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为

A矩阵未必是对称的。

|设有Aα=λα

也就是说|A-λE|=0.

同理(AT)β=λ'β

则|(AT)-λ'E|=0.

因为(A-λE)T=(AT)-λE

所以得到λ'=λ

即A和AT具有相同的特征值λ，但它们的特征向量不一定相等。

(AT)Aα=(AT)λα=λ(AT)α

其中α是A的特征值，不是AT的特征值，所以无法继续运算，也就是说，一般情况下ATA和A的特征值是没有关系的。

但如果A和AT有相同的特征向量，也就是A=AT，即A为实对称矩阵，那么ATA=A²，此时它的特征值等于A的特征值的平方λ².

若A可逆, 且a是A的特征值

则 |A|/a 是A*的特征值

有疑问请追问

R(A)=n 时, 0不是A的特征值

R(A)