积分-1到1 (xtan^2)/1+x^2dx怎么求在线等不定积分24个基本公式

求不定积分∫(1+x^2)^1/2dx

令x=tan(t), 则dx=(sect)^2dt

带入∫(1+x^2)^(1/2)dx

=∫sectdtant

=secttant-∫tantdsect

=sect*tant-∫sect*tan²tdt

=sect*tant-∫sect(sec²t-1)dt

=secttant-∫sec³tdt+∫sectdt

=secttant-∫sec³tdt+ln|sect+tant|

2∫sec³tdt=secttant+ln|sect+tant|

∫sec³tdt=(secttant+ln|sect+tant|)/2+C

反带回得：

∫(1+x^2)^1/2dx

=(x√(1+x^2)+ln|x+√(1+x^2)|)/2+C

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。设f(x)区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。设f(x)在区间[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积。

一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

参考资料来源：搜狗百科——不定积分

令x=tanu,原式化为cosudtanu,u从pi/4到pi/3的定积分，

原式=cosusecu^2du=cosu/cosu^2du=dsinu/(1-sinu^2)=1/2[1/(1-sinu)+1/(1+sinu)]dsinu

=1/2[ln(1+sinu)-ln(1-sinu)]=1/2*ln[(1+sinu)/(1-sinu)]

原式=1/2*{ln[(1+3^(1/2)/2)/[(1+3^(1/2)/2)]-ln[(1+2^(1/2)/2)/[(1+2^(1/2)/2)]}

=2+3^1/2-(2+2^1/2)+1/2*ln2=3^1/2-2^1/2+1/2*ln2

凑微分，化成分部积分的形式

过程如下图：

先求不定积分

=∫x^2+1/x^2dx

=x^3/3-1/x+C

代值进去

=8/3-1/2-1/3+1

=17/6