求助一道数学题：已知正整数a, b, c满足a/b + b/c + c/a为整数且2021|abc,求abc的最小值.

• 已知a,b,c为正整数满足a<b<c 且ab+bc+ac=abc求a，b，c的所有取值范围
• 已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c
• 已知正整数a,b,c满足a＞b＞c,且ab+bc+ca=abc,求所有符合条件的 a,b,c
• 已知正整数a,b,c满足：a<b<c，且a<b<c,且ab+bc+ca=abc求所有符合条件的a,b,c

已知a,b,c为正整数满足a<b<c 且ab+bc+ac=abc求a，b，c的所有取值范围

ab+bc+ac=abc

1/c+1/b+1/a=1

因为a

得

1/a>1/b>1/c

所以

1/a+1/b+1/c<3/a

既3/a>1

a<3

因为a>1

所以a=2

所以1/b+1/c=1/2

因为1/c<1/b

则2/b>1/2

既 b<4

因为b>a=2

所以b=3

故1/c=1-1/2-1/3

c=6

所以a=2,b=3,c=6

已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c

解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc，

所以a＜3，故a=1或者a=2．

（1）当a=1时，有b+bc+c=bc，

即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾．

（2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0，

所以（b-2）（c-2）=4，

又因为2＜b＜c，故0＜b-2＜c-2，

于是b-2=1，c-2=4．即b=3，c=6，

所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6．

解法二：∵ab+bc+ca=abc，

∴

1

a +

1

b +

1

c ＝1，

∵a＜b＜c，

∴

1

a ＞

1

b ＞

1

c ，

所以

1

a ＞

1

3 ，1＜a＜3，a＝2．

∴

1

b +

1

c ＝

1

2 ，

所以

1

b ＞

1

4 ，2＜b＜4，b＝3．

由上得，c=6，

所以，唯一解：a=2，b=3，c=6．

已知正整数a,b,c满足a＞b＞c,且ab+bc+ca=abc,求所有符合条件的 a,b,c

ab+bc+ca=abc

同时除以 abc

1/c + 1/a + 1/b = 1

由于

a > b > c

所以

1/a<1/b<1/c

1/c + 1/a + 1/b < 3/c

1 < 3/c

c < 3

c = 1 or 2

因为 c〉1

所以 c = 2

1/2 + 1/a + 1/b = 1

1/a + 1/b = 1/2

1/a < 1/b

2/b > 1/2

2 > 1/2b

4 > b

b = 3 or 2 or 1

距题意

b = 3

1/c + 1/a + 1/b = 1

1/2 + 1/3 + 1/a =1

1/a = 1/6

a = 6

所以 a =6 b =3 c =2

已知正整数a,b,c满足：a<b<c，且a<b<c,且ab+bc+ca=abc求所有符合条件的a,b,c

ab+bc+ca=abc两边同时除以abc,得

1=1/a+1/b+1/c<3/a

1>1/a

所以3>a>1

a=2;

1/b+1/c=1/2;

1/2=1/b+1/c<2/b;

b<4又因b>a=2 所以b=3;

代入得c=6