定积分的保号性 积分有没有保号性

当00,所以x-ln(1+x)单调增,x=0时为最小值,x-ln(应用定积分的保号性即可验证 x>ln(1+x),相同的e^x>1+x 因此,它们

二重积分的保号性:若函数 u=f(x,y) 在区域 D上满足 f(x,y)>=0, 则 ∫∫{D)f(x,y)dxdy>=0.若函数 u=f(x,y) 在区域 D上连续,满足 f(x,y)>=0, 且不恒等于0,则 ∫∫{D)f(x,y)dxdy>0.证明:设 f(x0,y0)>0,则存在点(x0,y0)的邻域 U,使得在U内, f(x,y)>(1/2)f(x0,y0)>0 又因为在D上,f(x,y)>=0,所以 ∫∫{D)f(x,y)dxdy>=∫∫{U)f(x,y)dxdy>(1/2)|U|>0 (其中 |U|为U的面积).

不定积分不是一个函数,而是一族函数.若f(x)的原函数是F(x),则∫f(x)dx={F(x)+C},其中右端是一族函数,只是为了书写方便才简单写成了F(x)+C.既然不定积分是一族函数即函数的集合,而集合之间是无法比较大小的,所以不定积分不具有保号性.

是的.首先,在可去间断点处函数是有界的,因此定积分存在; 其次,改变函数在个别点处的函数值,其定积分值不变.因此得到肯定的结论.

不带.定积分几何意义就是面积.面积保号性就是>或者小鱼0

保号性的理解没错,待积分的函数f(t)>0成立,根据保号性,积分肯定也是>0的.前面又推导出积分 = 0,那么只有一个可能,就是积分区间为0,所以b = x ->0,b =0

定积分的保序性:若在(a,b)上有f(x)≤g(x),那么∫(a→b)f(x)dx≤∫(a→b)g(x)dx 说的简单点就是:如果函数1恒比函数2小,那么函数1的原函数也一定比函数2的原函数小.放在几何上来解释,就是:如果一个函数图像始终在下面,那么它的原函数的图像也始终在下面.可以有推论:如果函数1始终比函数2小,那么函数1的导数也一定比函数2小.证明吗,一般书上写的都很细了,数学符号不好打,我就不写了~

看个图你就懂了,一大堆证明看了没用,不理解回头又忘记了.关键就在于,a只要大于零,肯定能找到一个很小的ε,使得a-ε大于零.而根据极限的定义,无论这个ε有多小,只要足够接近极限的那个点.使f(x)>a-ε总能成立.因为极限的定义就是|f(x)-a|0.不就是保号性了吗? a

】令ϕ (x) = x2 f (x),由积分中值定理得2(1) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 110 f = ∫ x2 f x dx = ⋅ c f c ⋅ ,其中]2 c∈[0, 1 ,即12 f (1) = c2 f (c),于是有 ϕ (c) =ϕ (1),由罗尔定理,存在ξ ∈(c,1) ⊂ (0,1),使得ϕ ′(ξ ) = 0.而ϕ ′(x) = x2 f ′(x) + 2xf (x),所以ξ 2 f ′(ξ ) + 2ξf (ξ ) = 0,注意到ξ ≠ 0,所以有 ξf ′(ξ ) + 2 f (ξ ) = 0.

设函数为 f(x),若其在x0处有极限,且有f(x0)>0, 那么根据定义,对任意的ε>0,存在δ>0, 满足 |f(x)-f(x0)|<ε, 即有 f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε. 当取 ε=f(x0),则上式变为 0=f(x0)-f(x0)<f(x),在(x0-δ,x0+δ)上成立. 即找到一个区间上,f(x)大于零. 我们称此为局部保号性(号为函数值的正负号):即若其在x0处有极限,有f(x0)>0,则可找到一个区间上恒有f(x)>0;f(x0)<0时同样成立;f(x0)=0不存在保号性.