二次型用初等变换法化为标准型用初等变换法，f=x1^2+x2^2+2x3^2+2x1x3？
- 二次型化为标准型的步骤？
- 关于二次型化一般为标准型的问题
- 初等变换法把二次型化为标准形f(x1,x2,x3) = x1^2+5x2^2-4x3^2+2x1x2-4x1x3 Thank you!
- 利用初等变化吧下列二次型化为标准型，并写出相应的可逆变换 f（x1,x2,x3)=x1^2+5x2^2-4x3^2+2x1x2-4x1x3
二次型化为标准型的步骤？
1、含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形
解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2
2、不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理
3、特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量
矩阵半正定和正定判定：
实对称矩阵A正定
<=>A合同于单位矩阵
<=>A的特征值都大于0
<=>X'AX的正惯性指数 = n
<=>A的顺序主子式都大于0
实对称矩阵A半正定
<=>A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , r<n
<=>A的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0
<=>X'AX的正惯性指数 p < n.
关于二次型化一般为标准型的问题
1 对于任一实系数n元二次型X'AX，要化为标准型，实际上就是要找一个可逆变换X=CY，将它化为Y'BY的形式，其中B为对角阵。则C'AC=B,B就是A的一个合同矩阵了。
2 如果你想要的是将A经合同变换化为B时的变换矩阵C，常用的方法有3种，即配方法、初等变换法和正交变换法。
（1）配方法：如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。
例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3
=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;
作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.
将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分号表示矩阵行结束）就是合同变换中的变换矩阵。
例，f=2x1x2-6x1x3,无平方项，则先作变换x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中
f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;
再作变换z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆变换y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成
f=2z1^2-2z2^2这种标准二次型。
最后将再次用的变换写成矩阵形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,则C=C1*C2就是所求（具体计算略）。
（2）初等变换法：
将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵（A|I），在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换，当将A化为对角阵时，子块I将会变为C’。
（3）正交变换法：
先写出二次型f的tdbl，它是实对称矩阵，求出全部特征值λi（i=1，2，……，n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T，那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2
初等变换法把二次型化为标准形f(x1,x2,x3) = x1^2+5x2^2-4x3^2+2x1x2-4x1x3 Thank you!
根据矩阵的合同C'AC=B，可逆矩阵C是一列初等矩阵的乘积，所以对A进行同样的行变换与列变换，即可化A为B，把使用的列变换对应的矩阵记录下来，即为C
利用初等变化吧下列二次型化为标准型，并写出相应的可逆变换 f（x1,x2,x3)=x1^2+5x2^2-4x3^2+2x1x2-4x1x3
1 1 -2
1 5 0
-2 0 -4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
r2-r1, r3+2r1
1 0 0
0 4 2
0 2 -8
1 -1 2
0 1 0
0 0 1
r3-(1/2)r2
1 0 0
0 4 0
0 0 -9
1 -1 5/2
0 1 -1/2
0 0 1