近世代数证明题证明:Q[i]={a+bi|a,b∈Q} 对普通加法构成交换群？

近世代数证明题证明：Q[i]={a+bi|a,b∈Q} 对加法与乘法构成为域

1非空

2加法封闭

3数的加法适合结合律交换律

4存在零元

5存在负元

所以是加群

1乘法封闭

2数的乘法适合结合律交换律分配律

所以是交换环

1至少存在一个非零元

2存在单位元

3任意非零元存在逆元

所以是除环

根据定义，交换除环是域

利用Q是域,验证对加减乘除封闭就行.

1. 设x=a+bi,y=c+di （a,,b,c,d是整数），则x+y=a+c+(b+d)i属于Z[i]

2. 0属于Z[i]，且x+0=0+x=x

3. 对任意x=a+bi属于Z[i]，有-a-bi属于Z[i]，且x+(-a-bi)=0

4. Z[i]是复数域的子集，由复数域上加法的结合律以及上述的第一点（z[i]对加法的封闭性）得到z[i]上加法啊结合律

综上四点，z[i]是群

5.x+y=a+c+(b+d)i=c+a=(d+b)i=y+x，所以z[i]上的加法可交换

6.xy=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i属于z[i]

7.同上述第四点，可知z[i]上的乘法满足结合律和交换律

8.1属于z[i]，1x=x1=x

综上，Z[i]={a+bi|a.b~Z} 关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环.

因为i是Q上不可约多项式f(x)=x^2+1=0的根，所以[Q(i):Q]=deg(f(x))=2,2是素数，所以Q和Q[i]没有中间域