一道复变函数题，求助复变函数思维导图

一道复变函数题，求助复变函数思维导图

求助一复变函数题！

^首先f（z）=｜z｜^2=U(x,y)+iV(x,y)=x^2+y^2

△f(z)/△z=lim[(x+△x)^2+(y+△y)^2-x^2-y^2]/(△x+i△y)

你这个做法其实就是C-R方程得推导，

由于这是多远函数的极限，可以用累次极限来求，先令△y趋于0，得到lim[(x+△x)^2-x^2]/△x,再令△x趋于0得到2x,也就是U对x求偏导，

那么也可以先令△x趋于0得到lim[(y+△y)^2-y^2]/i△y，然后再令△y趋于0，得到-2yi

由于累次极限要相等所以得到x=y=0时才成立，又由于f（z）在复平面连续，从而f（z）只在（0,0）点可微

解：分享一种解法。

　　设z=re^(iθ)，0≤r≤2，则丨z^2-iz丨=r丨re^(i2θ)-ie^(iθ)丨=r丨rcos2θ+irsin2θ-icosθ+sinθ丨=r[(rcos2θ+sinθ)^2+(rsin2θ-cosθ)^2]^(1/2)，

　　而[(rcos2θ+sinθ)^2+(rsin2θ-cosθ)^2]^(1/2)=(r^2+1-2rsinθ)^(1/2)，显然，sinθ=-1时，有最大值，

　　∴r=2时，丨z^2-iz丨的最大值=r(1+r)=6。

　　供参考。

这个就只要把sin2z在z0=0处展开即可，由实函数的泰勒级数可得

再乘以z^3,

收敛半径为0＜R＜∞

至于相乘或相除的泰勒展式的求法，一般对于f（z）g（z）的情形（因为除也可看成是相乘的情况），是不能直接对f（z）或g（z）进行展开的，要经过变形，化为我们熟知的泰勒展式的情形，还有借助 1/（1-u）=Σu^n,n从0到无穷大，至于具体怎么做只有具体问题具体分析啦

(x-1)^2 + (y-4)^2 = (cost)^2 + (sint)^2 = 1