证明：多项式1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...+(-1)^nx^{2n}/(2n)!无重根？

• 设p为素数，证明: 多项式f(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……+x^p/p! 在Q[x]上不可约。
• 1-cosnx 等价无穷小
• 证明1²+2²+……+n²＝n(n+1)(2n+1)/6
• 高等数学，请问 根号1-x^2，怎么用泰勒公式展开，求详细过程。

设p为素数，证明: 多项式f(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……+x^p/p! 在Q[x]上不可约。

你把它每一项都乘以p！即把它化成整系数多项式：p！+p！x+（p！/2！）x^2+…+x^p，用艾森斯坦因判别法：找一个素数q，若q不整除最高次项系数，且q整除除了最高次项以外每一项系数（包括常数项本身），且q^2不整除常数项，则这个整系数多项式在有理数域上不可约。这道题在把原多项式变成上述整系数多项式后，取q为p，恰好满足判别法条件，就证明不可约了。

1-cosnx 等价无穷小

cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小,即1-cosx和(x^2)/2为等阶无穷小

还得说明x→0,否则x→∞,1-cosx与x^2/2就不能是等阶无穷小.

应该是当x→0,1-cosx～x^2/2,

其实这个的严格证明还得用泰勒公式,用泰勒公式将cosx在x0=0处展开得：

cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...

从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...

故x^2/2是1-cosx的主部,

所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1（x→0）,由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量,即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量.

证明1²+2²+……+n²＝n(n+1)(2n+1)/6

1²+2²+……+n²=1+2*(1+1)+3*(2+1)+4*(3+1)+...+n(n-1+1)=1+2+3+4+...+n+1*2+2*3+3*4+4*5+...+(n-1)n=n(n+1)/2+2(2C2+2C3+2C4+...2Cn)=n(n+1)/2+3C(n+1)=n(n+1)(2n+1)/6

这里用的是分项技巧和组合数公式,2Cn表示n(n-1)/2.此种方法技巧性较强.

也可用数学归纳法证明,当n=1时，代入等式成立,假设n=k时，1²+2²+……+k²＝k(k+1)(2k+1)/6 成立,则n=k+1,1²+2²+……+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6,故当n=k+1时成立,综上所述,可得1²+2²+……+n²＝n(n+1)(2n+1)/6成立

高等数学，请问 根号1-x^2，怎么用泰勒公式展开，求详细过程。

^令 u = -x^2, 代 √(1+u)展开式：

√(1+u) = 1+u/2-u^2/(2*4)+(1*3)u^3/(2*4*6)-(1*3*5)u^4/(2*4*6*8)+...... u∈[-1, 1]

则 √(1-x^2) = 1-x^2/2-x^4/(2*4)-(1*3)x^6/(2*4*6)-(1*3*5)x^8/(2*4*6*8)+...... x∈[-1, 1]