设随机变量序列x1,x2,...,xn独立同分布，且共同的密度函数为？ 设随机变量x1 x2 xn相互独立

• 设随机变量X1，X2，---，Xn独立同分布且具有相同的分布密度，证明：P{Xn>max(X1,X2,...,Xn-1)}=1/n
• 设随机变量X1，X2，……Xn相互独立同分布，且都有密度函数f（x）=1/π（1+x^2）, 证X1,X2……Xn不满足中心
• 设随机变量序列X1,X2,...Xn独立同分布,且E(Xi)=μ
• 设随机变量X1,X2,...Xn独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ^2,i=1,2,...,设x=1/n∑xp,求Ex,Dx,xi与x的相关系数

设随机变量X1，X2，---，Xn独立同分布且具有相同的分布密度，证明：P{Xn>max(X1,X2,...,Xn-1)}=1/n

设X1...Xn的概率密度函数是fX(x),概率分布函数是FX(x)

设随机变量Y=max(X1,...,Xn-1)

先求Y的概率分布函数FY(y):

FY(y)=P{Y<y}

=P{max(X1,...,Xn-1)<y}

=P{X1<y}*P{X2<y}*...*P{Xn-1<y}

=[FX(y)]^(n-1)

而概率密度函数fY(y)就是FY(y)求导数，可以暂时不求出，记为fY(y)即可

接下来X1和Y的联合概率密度函数为：

fX1Y(x1,y)=fX(x1)*fY(y)

P{X1>Y}就是平面上X1=Y直线之下的面积上积分：

P{X1>y}=∫{负无穷到正无穷}dx1 ∫{负无穷到x1} fX(x1)*fY(y) dy

=∫{负无穷到正无穷} fX(x1)*FY(x1) dx1

=∫{负无穷到正无穷} fX(x1)*[FX(x1)]^(n-1) dx1

=∫{负无穷到正无穷} [FX(x1)]^(n-1) d(FX(x1))

=(1/n)*[FX(x1)}^n|{上正无穷，下负无穷}

=1/n

设随机变量X1，X2，……Xn相互独立同分布，且都有密度函数f（x）=1/π（1+x^2）, 证X1,X2……Xn不满足中心

Xi服从Cauchy分布，EXi不存在，所以X1,X2……Xn不满足中心极限定理条件

设随机变量序列X1,X2,...Xn独立同分布,且E(Xi)=μ

由林德贝格中心极限定理

lim(n->∞)P{{(∑Xi-nμ)/[n^(1/2)*σ]}>x}=1-Φ(x).

其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数.

设随机变量X1,X2,...Xn独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ^2,i=1,2,...,设x=1/n∑xp,求Ex,Dx,xi与x的相关系数

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EX=E(1/n∑xp)=1/n∑E(xp)=μ

DX=D(1/n∑xp)=1/n²D(∑xp)=1/n²∑D(xp)=σ²/n

相关系数就是协方差和2个变量方差的积平方根的比值，注意到是独立的，所以Cov（Xi,Xj）=0（对i≠j）

对i=j的情况当然就是Cov（Xi，Xi）=VarXi，就是方差DXi

因此Cov（Xi，X）=Cov（Xi，1/n∑xp）=1/n∑Cov（Xi，Xj）=1/nσ²

所以相关系数就是u=Cov（Xi，X）/√DXi√DX=1/√n