求证：椭圆上一点到其两个焦点的距离乘积的最大值为半长轴长度的平方。 余弦定理及椭圆相关概念

• 椭圆上一点到两焦点距离之积最值
• 椭圆上一点到两焦点的距离之积为,则的最大值为_________.
• 求助。如果知道一个椭圆方程，怎样求出椭圆上一点到两个焦点乘积最大值
• 椭圆 上一点到两焦点的距离之积为 ，求 取最大值时的 点的坐标。

椭圆上一点到两焦点距离之积最值

解：可设椭圆方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1.(a>b>0).F1,F2为左右两焦点，点P(x,y)为椭圆上任一点，则由椭圆第2定义知，|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.===>|PF1|*|PF2|=a^2-(ex)^2.===>当x=0时，[|PF1|*|PF2|]max=a^2.又|x|≤a,====>当x=±a时，[|PF1|*|PF2|]]min=b^2.

椭圆上一点到两焦点的距离之积为,则的最大值为_________.

直接利用椭圆的定义,结合基本不等式求出的最大值即可.

解:椭圆上一点到两焦点的距离之和为,所以,

椭圆上一点到两焦点的距离之积为.

当且仅当时取等号.

故答案为:.

本题是基础题,考查椭圆的定义,基本不等式的应用,考查计算能力,注意不等式成立的条件.

求助。如果知道一个椭圆方程，怎样求出椭圆上一点到两个焦点乘积最大值

不是很明白你的意思,请问你是求点还是求最大值呢?

如果求点的话,必然是短轴和椭圆的交点.

如果是求最大值的话,根据椭圆方程不难求出这个最大值就是长轴的平方.

证明:

不难理解,这里可以化为如下的问题: 已知m+n=2a,求mn的最大值,这里根据平均值不等式不难理解当m=n=a时,mn取得最大值a².

椭圆上的点到两焦点的距离和为长轴的两倍.所以当椭圆上的点到椭圆的焦点的距离相等的时候,两个距离的乘积最大.最大值即为长轴的平方.当两个距离相等的时候,正好为短轴和椭圆的交点.

椭圆 上一点到两焦点的距离之积为 ，求 取最大值时的 点的坐标。

∵

。∴

最大时

点的坐标为

。