矩阵 A为n阶对称矩阵？ a为n阶实对称矩阵

矩阵 A为n阶对称矩阵？a为n阶实对称矩阵

a为n阶矩阵,若a为对称矩阵,则a=0当且仅当对任一n·1列向量x均成立x^tax=0

记e_i是n阶单位阵的第i列

先取遍x=e_i得到a(i,i)=0

再取遍x=e_i+e_j得到a(i,j)=0

因为 A为对称矩阵

所以 A^T = A

因为 (B^TAB)^T = B^TA^T(B^T)^ = B^TAB

所以 B^TAB 是对称矩阵.

证明: 因为 A是对称矩阵

所以 A' = A.

所以 (B'AB)' = B'A'(B')' = B'AB

所以 B'AB 是对称矩阵

例如：

要证一个矩阵是对称的只需要证明它的转置等于它本身

因为

[B(T)AB](T)

=B(T)A(T)(B(T))(T)

B(T)AB (最后一步用到了A是对称阵)

所以B(T)AB也是对称矩阵

扩展资料：

把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵，记为A'或AT。

矩阵转置的运算律(即性质)：

(A')'=A

(A+B)'=A'+B'

(kA)'=kA'(k为实数)

(AB)'=B'A'

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

参考资料来源：百度百科-对称矩阵

（AB-BA）'＝（AB）'-（BA）'＝B'A'-A'B'＝（-B）A-A（-B）＝-BA+AB＝AB-BA……对称矩阵

（AB+BA）'＝（AB）'+（BA）'＝B'A'+A'B'

＝（-B）A+A（-B）＝-BA-AB＝-（AB+BA）……反对称矩阵