设A为m×n矩阵，R(A)=r ？设a为n阶可逆矩阵则r

设A为m*n矩阵，并且r(A)=n,又B为n阶矩阵，求证：如果AB=0则B=0,如果AB=A则B=E

r(A)=n,那么说明A有n行是线性无关的，把这n行取出来，设为矩阵C，那么由AB=0可知CB=0,而C是n*n的矩阵且秩为n,即是线性无关的，CB=0两边同时乘以C的逆矩阵，得到B=0

AB=A同理得到CB=C,进而B=E

利用r(X+Y) <= r(X) + r(Y)的推论r(X-Y) >= r(X) - r(Y)

不要把划去部分扔掉, 而改用0填充, 这样得到的mxn矩阵记为B, 那么r(B)=r(C), 只要看r(B)就行了

如果先把划去的m-s行置成零, 相当于A1 = A - U, U在划去的m-s行上与A相等, 余下部分为0, 所以r(U)<=m-s

然后从A1里划去n-t列, 相当于B = A1 - V, 同理r(V)<=n-t

接下来r(B) >= r(A) - r(U) - r(V) >= r-(m-s)-(n-t)

因为r（A）=m＜n，且A与

A 都是m行，所以

r（A）=r(

A )=m＜n．

利用非齐次线性方程组解的判定定理可得，

所以方程组AX=b一定有无数个解，

故选项C正确．

选取适当的反例，可以说明选项A、B、D均错误．

取A=

1 0 0

0 0 1

，则r（A）=2＜3．

由于存在A的一个子式

1 0

0 1 .

=0，故选项A不成立．

由于A的第1个列向量与第2列列向量线性相关，所以选项B错误．

为了使得将A化为（Em?O），仅做初等行变换是不够的，

还必须做初等列变换，将第2列与第3列互换才可以，

故选项D也不成立．

综上，正确选项为C．

故选：C．

B 正确

由B可逆知 r(BA)=r(A) = r

所以 BAX=0的基础解系由 n-r(BA) = n-r 个向量组成