原函数F（x）=∫（0→x）f（t）dt，f（x）=x^2(0≤x≤1)，f（x）=x(1<x≤2)，求F（x）

• 设f(x)=x^2,0≤x<1;f(x)=x,1≤x≤2,求I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上的表达式
• 求函数f(x)=∫[0,x^2](2-t)*e^(-t)dt的极值和最值，x∈（－∞，＋∞）
• ∫(0到x)(x2-t2)f(t)dt对x的导数怎么求？
• 设f(x)={1/2sinx,0≤x≤π 0,x＜0,x>π,求Φ(x)=∫(0→x)f(t)

设f(x)=x^2,0≤x<1;f(x)=x,1≤x≤2,求I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上的表达式

(1/2)x^2-1/6

解题过程如下：

分段函数f(x)的分段点是x=1，

显然在x-> 1-的时候，f(x)的左极限等于1^2=1，

而x=1及x->1+ 时，f(x)的右极限和函数值都等于1，

所以f(x)在其定义域[0，2]上是连续的，

因此其积分函数

I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上也是连续的，

当x∈[0,1) 时，

I(x)=∫0到x t^2 dt =(1/3)x^3

当x∈[1,2]时，

I(x)=∫0到x f(t) dt

=∫0到1 t^2 dt + ∫1到x t dt

=1/3 + ∫1到x t dt

=1/3 +(x^2-1)/2

=(1/2)x^2-1/6

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

扩展资料

求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法。

例6 求函数f(x)= 的最小正周期。

定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0

当2kπ-π<x<2kπ时,2kπ<x+π<2kπ+π,k∈z

f(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx ,

即有f(x+π)=f(x) ，同理可证：当2kπ<x<2kπ+π （k∈z）时，

有f(x+π)=f(x) ，所以f(x) 的最小正周期是π。

公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R ， （k∈z）

x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx <0 ,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx ≥0 .

∴f(x)=|sinx|= =

所以f(x) 的最小正周期T= =π

求函数f(x)=∫[0,x^2](2-t)*e^(-t)dt的极值和最值，x∈（－∞，＋∞）

ƒ(x) = ∫[0→x²] (2 - t)e^(- t) dt

ƒ'(x) = 2x(2 - x²)e^(- x²)

令ƒ'(x) = 0

x = 0、x = √2、x = - √2

ƒ''(x) = 2(2x⁴ - 7x² + 2)e^(- x²)

ƒ''(0) = 4 > 0、取得极小值

ƒ''(√2) = - 8/e² < 0、取得极大值

ƒ''(- √2) = - 8/e² < 0、取得极大值

极小值是ƒ(0) = 0

极大值是ƒ(± √2) = ∫[0→√2] (2 - t)e^(- t) dt = 1 + (√2 - 1)e^(- √2) ≈ 1.1007

由于没有给定ƒ(x)的范围，所以：

最小值 = 极小值

最大值 = 极大值

∫(0到x)(x2-t2)f(t)dt对x的导数怎么求？

令F(x)=∫(0→x)(x^2-t^2)f(t)dt=(x^2)∫(0→x)f(t)dt-∫(0→x)(t^2)f(t)dt

则F'(x)=[2x∫(0→x)f(t)dt+(x^2)f(x)]-(x^2)f(x)=2x∫(0→x)f(t)dt

设f(x)={1/2sinx,0≤x≤π 0,x＜0,x>π,求Φ(x)=∫(0→x)f(t)

我正好也做到这一题了，不过我第一个0<=x<π不是很清楚为什么不能取到π