高数二重积分题库 高数二重积分题目及答案

用极坐标:∫∫√(9-r²)rdrdθ=∫dθ∫√(9-r²)rdr =2π*{-√(9-r²)³}/3=18π (0≤r≤3,0≤θ≤2π)

答案没错,估计是你计算有误 先y后x:∫(0→2)dx∫(0→2-x) (3x+2y)dy=∫(0→2) (-2x^2+2x+4)dx=20/3 先x后y:∫(0→2)dy∫(0→2-y) (3x+2y)dx=∫(0→2) (-1/2*y^2-2y+6)dy=20/3

用极坐标∫∫e^(x^2+y^2)dδ=∫(0~2π)dθ∫(0~2) e^(ρ^2)ρdρ=2π∫(0~2) e^(ρ^2)ρdρ被积函数的原函数是1/2*e^(ρ^2),所以结果是π(e^4-1)

解:由0≤x≤1,0≤y≤1→0≤xy≤1,0≤x + y≤2→0≤xy(x + y)≤2 由0≤xy(x + y)≤2→0≤∫∫(d) xy(x + y)dσ≤2∫∫(d) dσ=2 故:选c.

这个是一个三棱锥,积分的话,三重积分才可以算体积,二重不可以,先算出三个在坐标轴上的顶点,(1,0,0)(0,0.5,0)(0,0,1/3),然后积分就可以了,∫∫∫0.5*XYdz 上限依次为(1-x-2y)/3 (1-x)/2 1,下限都为0,结果是1/36.

积分区域∫∫f(x,y)dxdy 分为两个区域 y=x,y=2x 和y=x,y=1 x时(0,1/2) (1/2,1) 如f(x,y)=xy, ∫dx∫xydy=∫(x*y^2/2)|(x,2x)dx+∫(x*y^2/2)|(x,1)dx =∫(2x^3-x^3/2)dx+∫x/2-x^3/2dx=∫3x^3/2)dx+∫(x/2-x^3/2)dx=3x^4/8|(0,1/2)+(x^2/4-x^4/8)|(1/2,1) =3/8*16+(1/4-1/8-1/16+1/16*8)=1/16+1/64=5/64

与三重积分无关.基本思路:先转到极坐标系积分→然后将极坐标系二重积分中对θ的定积分转为第二类曲线积分(第一个标记处)→格林公式(第二个标记)将第二类曲线积分转为二重积分→将直角坐标系二重积分转为极坐标系二重积分(第三个标记,这里的ρ意义上与前面的r相同,只是为了区分积分变量而已).参考下图具体分析:

题目写错了吧 是 (1+x^2-y^2)^1/2 这个化成先对Y后对X的二次积分得1/2 如果是按你写的 (1-x^2-y^2)^1/2 这个结果是个虚数 1/8 (2i + Sqrt[2] ArcSin[Sqrt[2]]) Sqrt[]为开平方的函数

解:∵z=√(12-x^2-y^2),则 αz/αx=-x/√(12-x^2-y^2),αz/αy=-y/√(12-x^2-y^2) ∴dS=√(1+(αz/αx)^2+(αz/αy)^2)dxdy=[2√3/√(12-x^2-y^2)]dxdy 故所求面积=∫∫<S>dS (S是xoy平面上的圆域:x^2+y^2≤8) =∫∫<S>[2√3/√(12-x^2-y^2)]dxdy =2√3∫<0,2π>dθ∫<0,2√2>rdr/√(12-r^2) (作极坐标变换) =-2√3π∫<0,2√2>d(12-r^2)/√(12-r^2) =-2√3π(4-4√3) =8(3-√3)π.