已知f（X）二x^2一2Xsin∝十2sin∝十（c○S∝）^2的最小值为f（sin∝），求f（

已知函数f(x)=iog2(x^2十1/x^2+2),求函数的最小值

(x²+1)/(x²+2)

=[(x²+2)-1]/(x²+2)

=1-1/(x²+2)

≥1-1/2

=1/2.

∴f(x)=log(2)[(x²+1)/(x²+2)]

≥log(2)(1/2)

=-1.

故x=0时，

所求最小值f(x)|min=-1。

(1)

f(x)=1/2sin2xsinψ+cos²xcosψ-1/2sin(π/2+ψ)

=1/2*sin2x*sinψ+cos²xcosψ-1/2*cosψ

=1/2*(sin2x*sinψ+cos2x*cosψ)=1/2*cos(2x-ψ)

由 f(π/6)=1/2*cos(2*π/6-ψ)=1/2

得 2*π/6-ψ=0 ==> ψ=π/3

(2)

令 x=2t

则 y=g(t)=1/2*cos(4t-π/3)

若 0 ≤ t ≤ π/4

则 -π/3 ≤ 4t-π/3 ≤ 2π/3

因为cos在区间 [-π/3 ,0]是增函数，在 [0，2π/3]上是减函数，所以

y=1/2*cos(4t-π/3) 在[0，π/4]的最大值 fmax=1/2*cos(0)=1/2

最小值 fmin=1/2*cos(2π/3)=-1/2*1/2= -1/4

f(x) = 1/2 sin2x sinφ + (1+cos2x)/2 cosφ - 1/2 cosφ

= 1/2 sin2x sinφ + 1/2 cos2x cosφ = 1/2 cos(2x-φ)

f(π/6) = 1/2

cos(π/3 - φ) = 1又（0＜φ＜π）

所以φ = π//3

g(x)=1/2cos(4x-π/3)

当4x-π/3=0即x=π/12时取最大值1/2

当x=π/4时取最小值-1/4

该题无解。

证明：∵将点（π/6，1/2）以及答案ψ=π/3代入f(x)后，f(x)=(1+2√3)/8≠1 /2

∴条件与题意不符，题目无解。