高等数学求极限问题 高等数学求极限的十种方法
高数求极限问题
科技信息
高校理科研究
《高等数学》中“求极限”问题分析
紫琅职业技术学院
杨琦
［摘要］本文通过对江苏省专转本《高等数学》考试中极限类型问题的分析，总结了求极限的基本类型及相应的处理方法。
［关键词］极限专转本《高等数学》0.引言
江苏省专转本《高等数学》考试中求极限的题目是必考的。我比较了近６年的《高等数学》专转本考试中求极限的题目，觉得只要弄清楚１∞这三种基本类型极限的求法，考试中极限的题目就不难解了０∞，决了。下面具体谈一谈极限基本类型及其处理的方法。
1.极限问题（１）“０”型
０
所谓“０”型是指分子、分母极限都为零的类型，因为分母极限为
零，就不能使用极限四则法则中除法法则了，为了能够使用除法法则，关键是让分母极限不为零，方法有：
１）约去分母中的趋零因式，具体操作方法有：①因式分解，②根式有理化，③等价无穷小的替换。
２）使用罗必达法则。
２
ｉｍａｘ－ｘ－３＝ｂ，求ａ，ｂ例１（０５年）：已知ｌｘ→－１ｘ
ｉｍｅ－ｘ－１例５（０７年）求极限ｌ
ｘ→００型，解：分母中，当ｘ→０时，ｔａｎｘ与ｘ是等价无穷小，则：
ｘｘ
ｌｉｍｅ－ｘ－１＝ｌｉｍｅ－ｘ－１然后还是０型，则使用罗必达法则：ｘ→０ｘｔａｎｘｘ→０ｘ２０ｘｘｘ
ｉｍｅ－１＝ｌｉｍｅ＝１ｌｉｍｅ－ｘ－１＝ｌ
ｘ→０ｘ→０ｘ→０注：连续使用了两次罗必达法则。
ｘ３
ｉｍ例６（０９年）求极限ｌ
ｘ→０解：分析题目类型是０型，但是第一步不能用等价无穷小替换当ｘ→０，ｓｉｎｘ￣ｘ。因为这里是加减法，只有ｓｉｎｘ作为整个式子的一个因式才可以等价无穷小替换，该题考虑使用罗必达法则。
３２ｘｌｉｍｉｍ３ｘ＝ｌｉｍ６ｘ＝ｌｉｍ６＝６＝ｌｘ→０ｘ→０ｘ→０ｘ→０注：连续使用了三次罗必达法则。（２）“∞”型
所谓“∞”型是指分子、分母都趋向于无穷大的类型，因为分母极
∞限不存在，所以不能使用除法法则，为了能够使用除法法则，要让分母极限存在，使用的方法是１：同除以分母的最高次幂，若不能使用则使用但是间接出现２：罗必达法则。虽然这种类型专转本中没有直接出现，
４＋２ｘ
ｌｉｍ３＋ｘ）了，如：该幂指函数的底的极限为：x→∞３＋１
３＋ｘｉｍｌｉｍ＝ｌ＝１，使用了第一种方法。x→∞２＋ｘx→∞２
＋１（３）“１∞”型所谓“１∞”型是专门针对幂指函数的，底的极限为１，而指数趋向于
解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限ｉｍ（也必须是零，即就是０型。ｌａｘ２－ｘ－３）＝０，则ａ＝２。
ｘ→－１然后用因式分解的方法求该极限值ｂ：
２
ｘ＋１）（２ｘ－３）＝ｌｌｉｍａｘ－ｘ－３＝ｌｉｍ（ｉｍ（２ｘ－３）＝－５则ｂ＝－５
ｘ→－１ｘ→－１ｘ→－１２
ｉｍｘ＋ａｘ＋ｂ＝３，例２（０９年）：已知ｌ求ａ，ｂｘ→２解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限ｉｍ（也必须为零，即也是０型。ｌｘ２＋ａｘ＋ｂ）＝４＋２ｘ＋ｂ＝０∴２ａ＋ｂ＝－４
ｘ→２然后对该题目使用罗必达法则求极限：
２
ｌｉｍｘ＋ａｘ＋ｂ＝ｌｉｍ２ｘ＋ａ＝４＋ａ＝３∴ａ＝－１∴ｂ＝－２ｘ→２ｘ→２ｉｍ－１例３（０６年）：求极限ｌ
ｘ→１
姨－１０型，解：因为题目含有根式，可是使用根式有理化的方法：
（＋＋１）（＋１）＝２ｌｉｍ（－１）法一：ｘ→１
（姨－１）（姨＋１）（姨＋姨＋１）该题目是０型，也可以考虑使用等价无穷小的替换：
ｔ
－１－１ｉｍｉｍｉｍ法二：令ｘ－１＝ｔ则ｌ＝ｌ＝ｌ＝２ｘ→１
－１ｔ→０姨－１ｔ→０姨２
３
３
３
３
３
３
３
ｉｍ（无穷大的类型。使用的方法是１：
使用公式ｌ１＋若不能使用则使
→０
用２：对该函数先取以ｅ为底对数，再取以ｅ为底指数，然后化为前面的基本类型来做。
３ｘ
ｉｍ（ｘ－２）例７（０８年）求极限ｌx→∞ｉｍ（解：首先分析题目类型是１型，则使用公式ｌ１＋然后来
∞
→０
找公式中的。
３ｘ
ｌｉｍｘ－２）ｉｍ［］＝ｌ１＋（－２）＝ｅ－６x→∞x→∞注：其中（－２）是公式中的。
ｘ
ｉｍ（ｘ＋１）例８（１０年）求极限ｌ
x→∞（－ｘ）×（－６）
（２ｘ）＝２则ｌｉｍｆｉｍｘｆ例４（０７年）已知ｌ１）＝
ｘ→０x→∞。
解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限（２ｘ）＝１∴当ｘ→０，ｉｍｆ也为零，则当ｘ→０，ｆ（２ｘ）是无穷小，∵ｌｆ（２ｘ）与２ｘ
ｘ→０是等价无穷小，即
ｆ（２ｘ）￣２ｘ，令２ｘ＝ｕ，当ｕ→０，ｆ（ｕ）￣ｕ，∴ｘ→∞，ｆ１）￣１
ｉｍｘ１＝１∴ｌ
x→∞ｉｍ（解：首先分析题目类型是１型，则使用公式ｌ１＋然后来
∞
→ｅ
找公式中的。
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华南农业大学珠江学院基础部
丁志清
［摘要］经济类高等数学是经济类，财会类学生的专业基础课。
高等数学求函数极限的几个问题！
我来解释一下（1-cosx)/3x^2为什么存在吧，虽然当X趋向无穷时cosx的极限不存在，但是分母是一个有限数，而当X趋向无穷时，1/3x^2是无穷小的，那么一个无穷小乘以一个有限数答案还是无穷小。 极限就是0
高数各种求极限方法
高等数学经典求极限方法
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求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
x41
例1：求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2．分子分母同除求极限
x3x2
例2：求极限lim3
x3x1
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；
0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4：求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键
4．应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5：求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑数部分。
1
，最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。 xxxxa
xx
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx； 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．
xln(1x)
x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8：求极限lim
x0tan3x
例7：求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
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6．用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9：求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x
lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于
x
f(xt)dt
xtu0
x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim
x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)
x
=lim
x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)
=lim
x0
x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)
求极限的方法有哪些？大一的高数太难的不用说 ，要常见的
其一,常用的极限延伸,如：lim(x->0)(1+x)^1/x=e, ,lim(x->0)sinx/x=1等等
其二,罗比达法则,如0/0,oo/oo型,或能化成上述两种情况的类型题目等等
其三,泰勒展开,这类题目如有sinx,cosx,ln(1+x)等等可以迈克劳林展开为关于x的多项式的等等
其四,等价无穷小代换,倒代换等等方法较多的
高等数学中的极限,积分等等知识需要在掌握基本原理的基础上做大量的联系才可以熟悉的.