证明：lim(n→∞) ⁿ√n=1（用二项式定理，无穷小比较定理）？

• 怎样证明数列极限√n²+a²/n=1
• 证明n→∞ lim n^(1/n) =1
• lim√(n²-a²)/n=1 用定义法证明
• 证明：lim（n→∞)n【1/（n²+π）+1/（n²+2π）+...+1/（n²+nπ）】=1

怎样证明数列极限√n²+a²/n=1

提示√(n²+a²)≤n+|a|

所以只要满足|a|/n<ε，n>|a|/ε

证明n→∞ lim n^(1/n) =1

用洛必达法则可以解决，但不是证明的正途。

证：n={1+[n^(1/n)-1]}^n

=1+n[n^(1/n)-1]+[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²

＞[n(n-1)/2][n^(1/n)-1]²

当n＞2时，上式＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²，

即n＞(n²/4)[n^(1/n)-1]²，整理得

0＜n^(1/n)-1＜2/√n，由夹逼准则得

lim[n^(1/n)-1]=0，即

limn^(1/n)=1

lim√(n²-a²)/n=1 用定义法证明

lim(n→∞)(√n^2-a^2)/n

＝lim(n→∞)√[(n^2-a^2)/n^2]

=lim(n→∞)√[1-(a^2/n^2)]

=1 lim(n→∞)√(a^2/n^2)=0

证明：lim（n→∞)n【1/（n²+π）+1/（n²+2π）+...+1/（n²+nπ）】=1

∀ ε>0

|1+ 1/n^2 - 1|

= |1/n^2| < ε

n > √(1/ε)

Choose N =[√(1/ε)] + 1

∀n >N

|1+ 1/n^2 - 1| lim(n->∞ ) ( 1+ 1/n^2) =1