线性代数题？ 线性代数题库及答案
几道线性代数的基本题目，要有解题过程，越详细越好！
第1题
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
第1行交换第2行-
1 3 1 1
3 1 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
第2行,第3行,第4行, 加上第1行×-3,-1,-1-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 -2 2 0
0 -2 0 2
第3行,第4行, 加上第2行×-1/4,-1/4-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 0 5/2 1/2
0 0 1/2 5/2
第4行, 加上第3行×-1/5-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 0 5/2 1/2
0 0 0 12/5
化上三角-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 0 5/2 1/2
0 0 0 12/5
主对角线相乘48
第2题
1 2 3 0 1
2 1 1 2 1
1 3 4 0 1
第2行,第3行, 加上第1行×-2,-1
1 2 3 0 1
0 -3 -5 2 -1
0 1 1 0 0
第2行交换第3行
1 2 3 0 1
0 1 1 0 0
0 -3 -5 2 -1
第1行,第3行, 加上第2行×-2,3
1 0 1 0 1
0 1 1 0 0
0 0 -2 2 -1
第1行,第2行, 加上第3行×1/2,1/2
1 0 0 1 1/2
0 1 0 1 -1/2
0 0 -2 2 -1
第3行, 提取公因子-2
1 0 0 1 1/2
0 1 0 1 -1/2
0 0 1 -1 1/2
化最简形
1 0 0 1 1/2
0 1 0 1 -1/2
0 0 1 -1 1/2
则向量组秩为3，且α1, α2, α3
是一个极大线性无关组，是向量空间的一组基，其维数是3
α4=α1+α2-α3
α5=α1/2-α2/2+α3/2
第4题
增广矩阵化最简行
1 1 1 1 1 1
3 2 1 1 -3 0
0 1 2 2 6 3
5 4 3 3 -1 2
第2行,第4行, 加上第1行×-3,-5
1 1 1 1 1 1
0 -1 -2 -2 -6 -3
0 1 2 2 6 3
0 -1 -2 -2 -6 -3
第2行交换第3行
1 1 1 1 1 1
0 1 2 2 6 3
0 -1 -2 -2 -6 -3
0 -1 -2 -2 -6 -3
第1行,第3行,第4行, 加上第2行×-1,1,1
1 0 -1 -1 -5 -2
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
化最简形
1 0 -1 -1 -5 -2
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 -1 -1 -5 -2
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -1 -1 -5 -2 0 0 0
0 1 2 2 6 3 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
第1行,第2行, 加上第3行×1,-2
1 0 0 -1 -5 -2 1 0 0
0 1 0 2 6 3 -2 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
第1行,第2行, 加上第4行×1,-2
1 0 0 0 -5 -2 1 1 0
0 1 0 0 6 3 -2 -2 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
第1行,第2行, 加上第5行×5,-6
1 0 0 0 0 -2 1 1 5
0 1 0 0 0 3 -2 -2 -6
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
化最简形
1 0 0 0 0 -2 1 1 5
0 1 0 0 0 3 -2 -2 -6
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
得到特解
(-2,3,0,0,0)T
基础解系：
(1,-2,1,0,0)T
(1,-2,0,1,0)T
(5,-6,0,0,1)T
因此通解是
(-2,3,0,0,0)T + C1(1,-2,1,0,0)T + C2(1,-2,0,1,0)T + C3(5,-6,0,0,1)T
几个线性代数的题，求详细答案
1. 记 XA=B， 则 X=BA^(-1)
(A, E) =
[1 -1 1 1 0 0]
[1 1 0 0 1 0]
[2 1 1 0 0 1]
行初等变换为
[1 -1 1 1 0 0]
[0 2 -1 -1 1 0]
[0 3 -1 -2 0 1]
行初等变换为
[1 -1 1 1 0 0]
[0 2 -1 -1 1 0]
[0 6 -2 -4 0 2]
行初等变换为
[1 -1 1 1 0 0]
[0 2 -1 -1 1 0]
[0 0 1 -1 -3 2]
行初等变换为
[1 -1 0 2 3 -2]
[0 2 0 -2 -2 2]
[0 0 1 -1 -3 2]
行初等变换为
[1 0 0 1 2 -1]
[0 1 0 -1 -1 1]
[0 0 1 -1 -3 2]
则 A^(-1) =
[ 1 2 -1]
[-1 -1 1]
[-1 -3 2]
X = BA^(-1) =
[ 2 9 -5]
[-2 -8 6]
[-6 -16 11]
2. |λE-A| =
|λ+2 -1 -1|
| 0 λ-2 0|
| 4 -1 λ-3|
=(λ-2)[(λ+2)(λ-3)+4] = (λ+1)(λ-2)^2.
A 的特征值是 λ=-1，2，2。
对于特征值λ=-1，λE-A =
[1 -1 -1]
[0 -3 0]
[4 -1 -4]
行初等变换为
[1 -1 -1]
[0 1 0]
[0 0 0]
得特征向量为 (1, 0, 1)^T;
对于重特征值λ=2，λE-A =
[4 -1 -1]
[0 0 0]
[4 -1 -1]
行初等变换为
[4 -1 -1]
[0 0 0]
[0 0 0]
得特征向量为 (1，4, 0)^T，(1, 0, 4)^T。
有两个线性无关的特征向量，
则A可以相似于对角阵 B=diag(-1, 2, 2).
3. A = (α1,α2,α3, α4) =
[ 1 2 0 3]
[ 2 0 -4 -2]
[-1 3 5 7]
[ 1 0 -2 -1]
行初等变换为
[ 1 2 0 3]
[ 0 -4 -4 -8]
[ 0 5 5 10]
[ 0 -2 -2 -4]
行初等变换为
[ 1 0 -2 -1]
[ 0 1 1 2]
[ 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0]
其一个极大线性无关组是 α1, α2。
α3=-2α1+α2， α4=-α1+2α2。
4. 增广矩阵 （A，b）=
[1 2 -1 4 2]
[1 -3 2 -3 -1]
[1 7 -4 11 5]
行初等变换为
[1 2 -1 4 2]
[0 -5 3 -7 -3]
[0 5 -3 7 3]
行初等变换为
[1 2 -1 4 2]
[0 5 -3 7 3]
[0 0 0 0 0]
r(A)=r(A,b)=2<4, 方程组有无穷多解。
方程组已同解变形为
x1+2x2=2 +x3-4x4
5x2=3+3x3-7x4
取 x3=-1, x4=0, 得特解 (1, 0, -1, 0)^T,
导出组即对应的齐次方程组是
x1+2x2= x3-4x4
5x2=3x3-7x4
取 x3=5, x4=0, 得基础解系 (-1, 3, 5, 0)^T,
取 x3=0, x4=5, 得基础解系 (6, 7, 0, -5)^T,
方程组胡通解是
x=(1, 0, -1, 0)^T+k(-1, 3, 5, 0)^T+c(6, 7, 0, -5)^T,
其中 k，c 为任意常数。
5. f(x1,x2,x3)= (x1)^2+2(x2)^2+2x1x2-2x1x3
=(x1+x2-x3)^2+(x2)^2-(x3)^2+2x2x3
=(x1+x2-x3)^2+(x2+x3)^2-2(x3)^2,
作非退化线性变换 y1=x1+x2-x3, y2=x2+x3, y3=x3,
二次型化为标准型 f=(y1)^2+(y2)^2-2y(3)^2.
该二次型不是正定二次型。
线性代数题目
在exencises7~10，系数为形式被给(2)的系统。显示系统并且核实被测量的价值构成解答
急求一份线性代数试卷（带答案的）大一学的
A题（满分60分）
一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）
1． 设A为4阶方阵，且|A|=2，则|2A-1|=
。
2． 齐次线性方程组 只有零解，则 应满足的条件是
。
3． 设B=（bij）3x3,则矩阵方程 的解X=
。
4． 设A为n阶方阵，且秩（A）=n-1,则秩（A*）=
。
5． 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是
。
二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）
1． 设A为n阶可逆矩阵， 是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是（
）。
A）． -1|A|n
B）． -1|A| C）． |A|
D）． |A|n
2．设有m个n维向量（m>n）,则（ ）成立。
A）．必定线性相关
B）．必定线性无关 C）．不一定相关
D）．无法判定
3．若向量 线性无关， 线性相关，则（ ）。
A）． 必可由 线性表示
B）． 必不可由 线性表示
C）． 必可由 线性表示
D）． 必不可由 线性表示
4．设n(n 3)阶矩阵A＝ ，如果A的秩为n-1，则a必为（ ）。
A）．1
B）．
C）．－1
D）．
5．设Aij是n阶行列式D中元素aij的代数余子式，则（ ）成立。
A）．a11A11+ a12A12+ + a1nA1n=D
B）．a11A11+ a12A21+ + a1nAn1=D
C）．a11A11+ a12A12+ + a1nA1n=0
D）．a11A11+ a12A21+ + a1nAn1=0
三、计算题（每小题5分，共3小题，满分15分）
1．Dn= 。
2．设A＝ ，AB＝A＋2B，求B。
3．解方程AX＝b,已知（A b） 行初等变换 → 。
四、（7分）
设
证明： 与 有相同的秩。
五、（8分）
a，b 取何值时，方程组
无解？有惟一解？有无穷解？当无穷解时求其一般解。
B题（满分40分）
一、（8分）
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到矩阵记为B。
1）．证明：B可逆
2）．求AB－1
二、（8分）
设A为n阶幂等阵，A2＝A，则R（A）＋R（E－A）＝n
三、（8分）
设向量组
1)
当a取何值时，该向量组的秩为3。
2)
当a取上述值时，求出该向量组的一个极大线性无关组，并且将其它向量用该组线性表出。
四、（8分）
设3阶矩阵A的特征值为 对应的特征向量依次为
，向量 ，
1） 将 用 线性表出。
2） 求An （n N）。
五、（8分）
用正交相似变换把下面二次型化为标准形：
C题（满分20分）
试卷说明：C题是线性代数应用部分试题，是试点型考生必做内容。本部分试题有五小题，每题4分，满分20分。
一、（本题满分4分）
某班有m个学生，分别记为1号，2号，…，m号，该班某学年开设有n门课程，第i号学生第j门课程得分为xij，体育得分为yi，政治表现得分为zi，嘉奖得分为di。xij， yi， zi均采用百分制。若学校规定三好考评与奖学金考评办法如下：
三好考评按德、智、体分别占25%，60%，15%进行计算。德为政治表现，智为n门课程成绩得分均值，体为体育表现得分，再加嘉奖分。
奖学金按课程得分乘以课程重要系数kj计算。
试给出每位学生的两类考评得分的分数矩阵表达式综合表：
二、（本题满分4分）
农场的植物园中，某种植物的基因型为AA，Aa， aa，农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲体基因型与其后代基因型的概率。
父体—母体基因型
AA-AA AA- Aa AA-aa
后
代
基
因
型 AA 1 1/2 0
Aa 0 1/2 1
Aa 0 0 0
三、（本题满分4分）
求函数f (x，y，z) = x2 +2 y2 +3z2 – 4xy + 4yz在附加条件：x2 + y2 +z2 =1下的最大值及最小值。
四、（本题满分4分）
已知二次型 = 的秩为2，求：
1） 参数c及此二次型对应矩阵的特征值；
2） 指出方程 表示何种二次曲面。
五、（本题满分4分）
结合你的专业或生活实际，举一个线性代数实用实例。
D题（满分20分）
试卷说明：D题是线性代数实验部分试题，是试点型考生必做内容。本部分试题有五小题，每题4分，满分20分。
一、作图题（任选一）
1、 作函数y=Sin[x y]的图形，其中
2、 作函数 的图形，其中
3、 自画一个三维图形。
二、行列式的运算（任选一）
1、计算行列式
2、计算行列式B=
3、计算行列式C=
4、自编一个大于或等于3阶的行列式并求其值。
三、求矩阵的逆矩阵与伴随矩阵（任选一）
1、已知
（1）求A-1与A*（伴随矩阵）（2）求矩阵X使满足:AXC=T
2、求下列方阵的逆阵与伴随矩阵
(1) ；
(2) 。
3、自编一个大于或等于3阶的矩阵并求其逆阵与伴随矩阵
四、求解线性方程组（任选一）
1、 已知 ,计算A的秩及Ax=0的基础解系.
2、 解方程组
3、 求解线性方程组：
4、 自编并求解一个大于或等于3个未知数的线性方程组。
五、求矩阵的特征值与特征向量（任选一）
1、求矩阵A= 的特征值和特征向量。2、求矩阵A= 的特征值和特征向量。
3、自编一个大于或等于3阶的矩阵并求其特征值和特征向量。