非齐次微分方程的通解 非齐次方程的通解公式

先求对应的齐次方程的通解,特征方程为r²+2r-3=0,(r+3)(r-1)=0,r=-3或r=1 故Y=C1 e^(-3x)+C2 e^x 因为0不是特征根,故设原方程的特解为y*=ax+b 则y*'=a,y*=0 代入原方程得0+2a-3(ax+b)=4x 即-3ax+2a-3b=4x 对应系数相等,即-3a=4,2a-3b=0 得a=-4/3,b=-8/9 故y*=-4x/3 -8/9 故原方程的通解为y=Y+y* 即y=C1 e^(-3x)+C2 e^x -4x/3 -8/9

这是一阶线性非齐次微分方程,有三种方法:最简单的是公式法,先化成y'-[1/(x-2)]y=2(x-2)^2,通解y=e^(-∫-1/(x-2)dx)*(c+∫2(x-2)^2*(e^∫-1/(x-2)dx)dx),常数变易法什么的还是看书吧,我这手机打着太费劲,乱糟糟的你也累,常数变易法就是先作对应的齐次方程的通解,再把任意常数c换成函数c(x),积分因子法就是方程两边都乘以同一因子,是方程变成如uy'+u'y的形式,从而化成[uy]'去掉y'项便于积分,把书上这一章最前面最基本的吃透了比什么都好使!相信我.

解:∵齐次方程y＂-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0,则r=3(二重实根) ∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(3x) (C1,C2是常数) ∵设原方程的解为y=(Ax^3+Bx^2)e^(3x) 代入原方程,得(6Ax+2B)e^(3x)=(x+1)e^(3x) ==>6A=1,2B=1 ==>A=1/6,B=1/2 ∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一个解 故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x),即y=(x^3/6+x^2/2+C1x+C2)e^(3x).

这类微分方程有固定解法 ay''+by'+cy=f(x)1、先解对应的齐次方程ay''+by'+cy=0的通解y1 解法:根据特征方程at^2+bt+c=0的解t1,t2的是单根重根和虚根来组解,具体的你查书吧,我手头没书,得到y1=y1(t1,t2)2、求得一组特解y* 根据f(x)的形式设计试探特解,求出试探特解的系数,得到y*3、ay''+by'+cy=f(x)的通解:y=y1+y*

两个非齐次微分方程的特解做差就可以的到对应的齐次微分方程的特解 设这个微分方程是f(y(x))=P(x) 则f(y1(x))=p(x);f(y2(x))=p(x)两式相减 f(y1(x))-f(y2(x))=f(y1(x)-y2(x))=p(x)-p(x)=0 即y1(x)-y2(x)是对应齐次微分方程f(y(x))=0的一个解.第四行第一个等号成立是因为这个微分方程是线性的,满足叠加原理

通解为Ax²+Bx+C

1.dy + ytanxdx = sin2xdx 两边同乘e^(∫tanxdx) e^(∫tanxdx)dy + ytanx*e^(∫tanxdx)dx = sin2x*e^(∫tanxdx)dx 这是全微分形式 d[e^(∫tanxdx)y]=d[∫sin2x*e^(∫tanxdx)dx] 直接积分得.

一阶线性非齐次微分方程 y'+p(x)y=q(x), 通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C} 用的方法是先解齐次方程,再用参数变易法求解非齐次. 《高等数学》教科书上都有的.

对应的齐次方程的特征方程是r^2+3r+2=0,解得r=-1或-2,所以齐次方程的二个线性无关的特解是e^(-x),e^(-2x),通解是y=c1e^(-x)+c2e^(-2x)) 设非齐次方程的一个特解是y=x(ax+b)e^(-x),带入非齐次方程得a=3/2,b=-3.所以y=(3x^2/2-2x)e^(-x) 所以,原方程的通解是y=(3x^2/2-2x)e^(-x)+c1e^(-x)+c2e^(-2x))

解:这是一个非齐次线性方程,先求对应的齐次方程的通解. (dy/dx)-(2y/x)=0 dy/y=2dx/x lny=2lnx+lnc y=c(x^2) 用常数变易法,把c换成u,即令 y=u(x^2) ……① 那么 dy/dx=u'(x^2)+2ux 代入所给非齐次方程,得 u'=x^(1/2) 两端积分,得 u=(2/3)[x^(3/2)]+c 再把上式代入①式,即得所求方程的通解为 y=(x^2)*{(2/3)[x^(3/2)+c]