请问这个一阶线性微分方程的解法？微分方程的通解和所有解

一阶线性微分方程通解公式

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]

y/(x-2)=(x-2)² C (C是积分常数)

y=(x-2)³ C(x-2)

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

扩展资料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方62616964757a686964616fe78988e69d8331333431333963程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。

对于一阶非齐次线性微分方程：

其对应齐次方程:

解为：

令C=u(x)，得:

带入原方程得：

对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

x ≠ 0 时，微分方程变为 y'-3y/x = x^3e^x 为一阶线性微分方程，

y = e^(∫3dx/x) [∫x^3e^xe^(-∫3dx/x)dx + C]

= x^3(∫e^xdx + C) = x^3(e^x+C)

x = 0 时， y = 0，上述解也满足。故通解是 y = x^3(e^x+C)

一阶微分方程的一般形式是 F(y',y,x)=0(隐式)，如果可以化成 y'=f(y,x)(显式)，一般按以下步骤来解(做到这步有时并不容易)：

(1)考虑能否化成 y'=P(x)Q(y), 若能，则是变量可分离，分离变量，再两边积分。

(2)考虑能否化成 y'=p(y/x),若能，则是齐次微分方程，用变量替换u=y/x,化成(1).

(3)考虑能否化成 y'=P(x)y+Q(x),则是一阶线性微分方程，一阶齐次线性微分是变量可分离，一阶非齐次线性微分方程用常数变易法。

(4)化成 P(x,y)dx +Q(x,y)dy=0,判断是否为全微分方程，或者用积分因子化成全微分方程。

(5)化成 y' = P(x) y^n +Q(x),是伯努利方程，用变量替换z=y^(1-n)

(6)上述均未能解出，将方程写成dx/dy= f(x,y),视y为自变量，再按以上步骤考察。

(7)采用变量替换，如u=xy,或 u=x+y等，变形方程再考察。

最后说明，如果您是文史类数学（数学三），（4）（5）两种情况不须考虑。