变上限积分例题 变上限积分例题详解

n如果是积分下限〔∫0到n(a*n^2+b*n+c*n*x+d*x+e)*p(x)*dx 〕'下面省略“0到n” =〔a*n^2*∫p(x)dx+b*n∫p(x)dx+c*n*∫x*p(x)dx+∫(d*x+e)*p(x)dx〕' =2a*n*∫p(x)dx + a*n^2*p(n) + b*∫p(x)dx + b*n*p(n)+ c*∫x*p(x)dx + c*n*p(n)+ (d*n+e)*p(n) 将积分范围改为n到负无穷,则求导结果是上面的相反数,则求导结果与上式相同,n如果是积分上限

∫(上限x下限0)x dt =x∫上限x下限0 dt 求导=∫上限x下限0 dt+x(∫上限x下限0 dt)'=x+x=2x

积分上下限相等时积分的结果就是0,与被积函数无关.这个题不需要求分子的积分,直接考虑洛必达法则:

换元时,不仅被积表达式代入改变,积分上下限相应改变.令x-t=u,(式1) t=0下限时,代入上式(式1),解得u=x,换元后的积分下限为x. t=x上限时,代入上式(式1),解得u=0,换元后的积分下限为0.

利用定积分基本公式 (∫f(t)dt)'=f[h(x)]*h'(x)-f[l(x)]*l'(x) 和推论公式 (∫f(x)*g(t)dt)'=f(x)g[h(x)]*h'(x)-f(x)g[l(x)]*l'(x)+f'(x)∫g(t)dt 第(1)题:l(x)=0, .

变上限积分表达式的求法: 变上限的积分,那么它的积分上限一般是一个函数,所以可以对积分函数两边求导,得到一个关于位置函数的微分方程,然后求解这个微分方程,即可得到未知函数.

对x求导得f'(x)+2f(x)=2x即f'(x)=-2f(x)+2x先求齐次方程f'(x)=-2f(x)df(x)/f(x)=-2dxln|f(x)|=-2x+C即f(x)=C e^(-2x)由常数变易法,令f(x)=C(x) e^(-2x)则f'(x)=C'(x) e^(-2x) - 2C(x) e^(-2x).

最简单的理解,你要注意你是对一个积分求导.积分的上限虽然是X,但该积分同样是tf(t)的原函数,差异只在于常数的不同,书上有证明.所以直接去掉积分号即可.注:去掉积分号后还要对上限求导,本题上限导数为1

变上限积分 是微积分基本定理之一,通过它可以得到“牛顿——莱布尼茨”定理,它是连接不定积分和定积分的桥梁,通过它把求定积分转化为求原函数,这样就使数学家从求定积分的和式极限中解放出来了,从而可以通过原函数来得到积分的值!定理:连续函数f(x)在[a,b]有界,x属于(a,b),取βX足够小,使x+βX属于(a,b),则存在函数F(x)=∫(0,x)f(t)dt, 使F(x)的导数为f(x);

(d / dx )•∫cos x (积分上限) sin x (积分下限) cos(∏•t^2) dt =cos(π(cosx)^2)*(-sinx)-cos(π(sinx)^2)*cosx=cos(π(sinx)^2)*sinx-cos(π(sinx)^2)*cosx=cos(π(sinx)^2)*(sinx-cosx)