对任意实数x，y，有|f(x)−f(y)|=|x−y|, 且f(0)=0, 则f(x)f(y)等于？
- 已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1
- f(x)是R上的函数，对任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)f(y),且x小于零时，f(x)大于1，证明
- 设f(x)定义在区间R上，且对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),'若f(x)在x=0连续，证明f(x)对一切x都连续
- 设函数f﹙x﹚对任意的x，y都有f﹙x+y﹚＝f﹙x﹚+f﹙y﹚－1，且当x＞0时，f﹙x﹚＞1.求证：函数fx是R上的增函数②：若f﹙4﹚＝5，解不等式f﹙3t²－t-2﹚＜3.
已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1
(1)设y=1,代入f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy得
f(x+1)=f(x)+f(1)+3x
f(x+1)-f(x)=f(1)+3x
令x=1,2,...,n-1得
f(2)-f(1)=f(1)+3*1
f(3)-f(2)=f(1)+3*2
...
f(n)-f(n-1)=f(1)+3*(n-1)
将上面各式相加得
f(n)-f(1)=(n-1)f(1)+3*n(n-1)/2
由f(1)=1得
f(n)=nf(1)+3*n(n-1)/2=n(3n-1)/2
即f(x)=x(3x-1)/2
(2)f(t)=t(3t-1)/2≥m恒成立,故判别式
3t^2-t-2m<=0
(-1)^2+4*3*2m≥0
24m≥-1,m≥-1/24
f(x)是R上的函数，对任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)f(y),且x小于零时，f(x)大于1，证明
对一楼回答者关于连续性的一个补充证明，也不能算很严谨的证明，事实上高中数学有时候并不那么严谨，出题者在关键的步骤上含糊一下。
对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,那么函数f(x)在R上连续。
证明：在f(x+y)=f(x)f(y)两边同时减 f(x)，有
f(x+y)-f(x)=f(x)f(y）-f(x)=f(x)[f(y)-1] ①
由于x、y∈R，那么这里可以说y是相对于x的一个微小改变量，即相当于Δx（这里已经不算很严谨了，但是整个微积分都是这么架构的），
那么当y趋向于0时，①式右边就为 0，那么根据高等数学中函数连续性的定义就知道f(x)在R上是连续的。
注：为什么说f(0)=1 ? 这是因为由于x、y的任意性，在f(x+y)=f(x)f(y)中令，x=y=0，可以推导出f(0)=f²(0)，两边同时除以f(0)≠0 ，（注意这里说f(0)≠0，其实也很牵强，题目题设只是说“x小于零时，f(x)大于1”，但是x具有任意性并不一定都是小于0 ，也就是说f(0)也有可能等于0）
设f(x)定义在区间R上，且对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),'若f(x)在x=0连续，证明f(x)对一切x都连续
x∈R，
f(0)=f(x)+f(-x),
f(x)=-f(-x),
则f(x)为奇函数
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0，f(x)在x=0连续
∴f(x)对一切x都连续
设函数f﹙x﹚对任意的x，y都有f﹙x+y﹚＝f﹙x﹚+f﹙y﹚－1，且当x＞0时，f﹙x﹚＞1.求证：函数fx是R上的增函数②：若f﹙4﹚＝5，解不等式f﹙3t²－t-2﹚＜3.
1. 证明：
f﹙x+y﹚＝f﹙x﹚+f﹙y﹚－1
设x=y=0,则f﹙0﹚=1
设x=-y,则f﹙x﹚+f﹙-x﹚=2,得f﹙-x﹚=2-f﹙x﹚
当x＞0时，设x<0,f(-x)>1
即f﹙-x﹚=2-f﹙x﹚>1,
也即f﹙x﹚<1
综上所述，当x＞0时，f﹙x﹚＞1
当x=0时，f﹙x﹚=1
当x<0时，f﹙x﹚<1
即：函数f﹙x﹚是R上的增函数
2.由f﹙4﹚＝5知，
设x=y=2,则f﹙2﹚=3
不等式f﹙3t²－t-2﹚＜3
等价于：f﹙3t²－t-2﹚＜f﹙2﹚
由1知，函数f﹙x﹚是R上的增函数
则3t²－t-2＜2
3t²－t-4<0
（3t-4)(t+1)<0
即-1<t<3/4