0<x<π/2 sinx<x 证明sinx/2<x/2？ sinx在0到2π的面积
- 当0<x<π/2时,证明:2/πx<sinx<x
- 怎么证明 当0＜X＜π/2时 有sinx ＜x＜tanx？
- 若0<x<π/2,证明:sinx<x<tanx
- 证明不等式：sinx<x<tanx(0<x<π/2)。各位大哥大姐们，姐姐求你们了，帮我想想吧！
当0<x<π/2时,证明:2/πx<sinx<x
这是函数类不等式的证明，对待这种题型，就是要构造函数，利用单调性证明。
你题目写错了，左边的x 应该在分子上。
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解：先证左边，设f(x)＝sinx－x， 要证sinx＜x，只要证f(x)＜0，等价于证f(x)在(0，π/2)上的最大值小于0
求导 f'(x)＝cosx－1， 当0<x<π/2时，0＜cosx＜1，那么 f'(x)＝cosx－1＜0
∴ f(x) 在0<x<π/2时单调递减，∴最大值在左端点，f(x)＜f(0)＝0，即sinx＜x
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再证右边，设g(x)＝2x/π－sinx ，要证2x/π＜sinx，只要证g(x)＜0，等价于证g(x)在(0，π/2)上的最大值小于0
求导 g'(x)＝2/π－cosx，不能定号，再导 g''(x)＝sinx
显然，当0<x<π/2时，g''(x)＞0，这说明 g'(x)是单调递增的，
而g'(0)＝2/π－1＜0，g'(π/2)＝2/π＞0，g'(x)单调且连续，故存在唯一的 ξ∈(0，π/2) 使g'(ξ)＝0
于是在 (0，ξ)上，g'(x)＜0，在(ξ，π/2) 上g'(x)＞0
那么g(x)在 (0，ξ)上递减，在(ξ，π/2) 上递增，故g(x)的最大值必在端点处，
而g(0)＝0－0＝0，g(π/2)＝1－1＝0，两个端点都是最大值，由于开区间，故g(x)＜g(0)＝0，
即2x/π＜sinx
综上可知，2x/π＜sinx＜x
怎么证明 当0＜X＜π/2时 有sinx ＜x＜tanx？
做图法，会用不？在0<x<π/2区间，做出Y=sinx ，Y=x,和Y=tanx,比较直观，可以试试
若0<x<π/2,证明:sinx<x<tanx
解：设f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,0<x<π/2 ；
则f'(x)=1-cosx,g'(x)=(1/cos²x)-1 ；
因为0<x<π/2 ；所以0<cosx<1 ；即f'(x)>0,g'(x)>0 ；
所以f(x),g(x)在（0，π/2）区间上是递增的 ；
即f(x)=x-sinx>f(0)=0，即x>sinx ；
g(x)=tanx-x>g(0)=0，即tanx>x ；
所以sinx<x<tanx
证明不等式：sinx<x<tanx(0<x<π/2)。各位大哥大姐们，姐姐求你们了，帮我想想吧！
令t1=sinx-x
t1`=cosx-1
0＜x＜π/2 则0＜cosx＜1
t1＜0
在定义区间上恒为减函数
t1＜t1(0)=0
∴sinx＜x
t2=x-tanx
t2`=1-sec^2x
0＜sinx＜1 0＜sin^2x＜1
sec^2x＞1
t2＜0
在定义区间上恒为减函数
t2＜t2(0)=0
∴x<tanx
综上所述sinx<x<tanx