为什么等价无穷小可以代换？ 常见等价无穷小代换

• 等价无穷小到底什么时候可以替换？
• 判断级数敛散性为什么能用等价无穷小替换
• 等价无穷小在局部能否替换？
• 在计算极限的时候，什么情况下可以用等价无穷小替换？能说明原因吗？

等价无穷小到底什么时候可以替换？

## 等价无穷小

加减运算中，如果两部分的极限都存在，则可以直接使用等价无穷小，否则不可使用。

判断级数敛散性为什么能用等价无穷小替换

其实级数的收敛性的准确定义是从任意项N(N>0)开始，n>N时，级数和是收敛的则称级数收敛。就是说级数等于有限项和+无限项和，只要无限项和是收敛的，那么级数就是收敛。而求无限项和时候就可以用替换法，因为二者的收敛性是相同的。

等价无穷小在局部能否替换？

等价无穷小使用条件：被代换的量，在去极限的时候极限值为0。被代换的量，作为被乘或者被除的元素时，可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

在计算极限的时候，什么情况下可以用等价无穷小替换？能说明原因吗？

等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

独立的乘积的因子若是无穷小，可以用等价的无穷小替换。例如lim(x→0) sinx*tanx/x^2，这里的sinx，tanx都可以替换，如果是lim(x→0) (sinx-tanx)/x^3，分子的sinx，tanx都不能替换，可以化成lim(x→0) tanx(cosx-1)/x^3后，替换sinx与1-cosx。

扩展资料：

当x→0时，等价无穷小：

（1）sinx~x 

（2）tanx~x 

（3）arcsinx~x 

（4）arctanx~x 

（5）1-cosx~1/2x^2 

（6）a^x-1~xlna 

（7）e^x-1~x 

（8）ln(1+x)~x 

（9）(1+Bx)^a-1~aBx 

（10）[(1+x)^1/n]-1~1/nx 

（11）loga(1+x)~x/lna

参考资料来源：百度百科-等价无穷小