in(x+1)~x （x→0）的证明 如果不用洛必达和求导，怎么证？ ln 1+ x ∽ x证明

• 证明x→0时limsin1/x不存在
• 当x趋向于0时,ln(1+x)~x等价无穷小替换的证明过程是什么呀？
• 证明in(x+1)≤x
• 当x趋向于0时，ln(1+x)~x等价无穷小的证明

证明x→0时limsin1/x不存在

设t=1/x

那么x->0时limsin(1/x)

即t->∞时lim sint

sint 显然是不存在极限的

所以

x→0时limsin1/x不存在

当x趋向于0时,ln(1+x)~x等价无穷小替换的证明过程是什么呀？

求它们商的极限，如果极限为1，说明它们是等价的。

可以用第二个重要极限来求，也可以用洛必达法则求。

证明in(x+1)≤x

是否应该是ln,而且要求x>=0

记f(x)=ln(x+1)-x

f'(x)=1/(x+1)-1

x>=0时 x+1>=1 1/(x+1)<=1,f'(x)<=0

x>=0时，f(x)单调递减

f(x)<=f(0)=0

ln(x+1)<=x

当x趋向于0时，ln(1+x)~x等价无穷小的证明

lim(x→0) ln(1+x)/x

=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)

=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]

由两个重要极限知:lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e；

所以原式=lne=1,所以ln(1+x)和x是等价无穷小

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。因此常量也是可以当做变量来研究的。这么说来——0是可以作为无穷小的常数。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

等价无穷小的定义

（C为常数），就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，C=1且n=1，即

 ，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b。