求图中积分计算结果
如图，求不定积分∫1/[(1+x^2)^3/2]dx，请问图中结果怎么算来的，求详细解题步骤。
首先考虑换元法
令x=tant
则dx=(sect)^2 dt
所以原式=∫(sect)^(-3) * (sect)^2 dt'
=∫(sect)^(-1) dt
=∫cost dt
=sint + C
=tant / √(1+(tant)^2) + C
=x/√(1+x^2) + C
扩展资料:
性质：
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数
及
的原函数存在，则
2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数
的原函数存在，
非零常数，则
。
积分公式
注：以下的C都是指任意积分常数。
1、
，a是常数
2、
，其中a为常数，且a ≠ -1
3、
4、
5、
，其中a > 0 ，且a ≠ 1
6、
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
参考资料：搜狗百科——不定积分
图片中的怎么求积分
令x=asint
∫[1-a：a]√(a²-x²)dx
=∫[1-a：a]a²cos²tdt
=½a²∫[1-a：a](1+cos2t)dt
=½a²(t+½sin2t)|[1-a：a]
=¼a²(2t+sin2t)|[1-a：a]
=¼a²(2a+sin2a)-¼a²[2(1-a)+sin(2-2a)]
=a³-½a²+¼a²sin2a-¼sin(2-2a)
求定积分的结果和过程
在 x∈[0,π/6) 时 sinx<1/2 ，有 1/2-sinx>0 ,|1/2-sinx|=1/2-sinx
在 x∈[π/6,π/2]时 sinx>=1/2,有 1/2-sinx<=0 ,|1/2-sinx|=sinx-1/2
所以
∫[0,π/2]|1/2-sinx|dx=∫[0,π/6](1/2-sinx)dx+∫[π/6,π/2](sinx-1/2)dx
=(x/2+cosx)|[0,π/6]+(-cosx-x/2)|[π/6,π/2]
=π/12+√3/2-(0+1)+(-0-π/4)-(-√3/2-π/12)
=π/12-1+√3/2-π/4+√3/2+π/12
=√3-1-π/12
定积分计算
积分的结果是√（1+x^2）
所以 结果是√2-1