1. 首页 > 科技

假设x>0, y>0, x,y 都为实数,且满足 e^y(1+x+x^2/2) = e^x(1+y+y^2/2), 证明或者反证x=

假设x>0, y>0, x,y 都为实数,且满足 e^y(1+x+x^2/2) = e^x(1+y+y^2/2), 证明或者反证x=y?

高中数学基本不等式,已知x>0,y>0

基本不等式的主要规则是一正二定三相等,即一般正值才能用;二是必须出现定值的时候才能放缩,当然,基本不等式两边都可以放缩,你可以变大,也可以变小;三是当且仅当两个变量相等的时候才能取等号。

你给的题目:

1、xy=9是定值,x>0,y>0满足正值;

所以:x+2y≥2√2xy=2√18=6√2

2、因为0<x<1,则,x>0,1-x>0,满足一正

又因为x+(1-x)=1为定值,则可以利用x+y≥2√xy自右向左放缩

所以:2x(1-x)≤2×[(x+1-x)/2]^2=1/2

当且仅当x=1-x,即x=1/2时取等号

X>0 Y>0 X+Y=1 求证(X+1/X)²+(Y+1/Y)²≥25/2

提示:

因为x + y = 1, 所以 2根号(xy) <= x + y = 1 

所以 xy <= 1/4 (当 x = y = 1/2, '=' 成立) 

所以 x^2 + y^2 = 1 - 2xy >= 1/2 ----------- (1) 

且有 1/(xy)^2 >= 1/(1/4)^2 = 16 ----------- (2) 

原式左边= 

x^2 + 2 + 1/x^2 + y^2 + 2 + 1/y^2 

= x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)/(xy)^2 + 4 

根据(1),(2)可得 

>= 1/2 + 16/2 + 4 = 25/2

即(x+1/x)^2 + (y+1/y)^2 >= 25/2 

————————————————————————其他方法

证明:

(x+1/x)^2+(y+1/y)^2

≥1/2*[(x+1/x)+(y+1/y)]^2

≥1/2*[(x+y)+(1/x+1/y)]^2

=1/2*(1+1/xy)^2

由题知道:

x+y=1≥2√xy

即:

1/xy≥4

故有:

(x+1/x)^2+(y+1/y)^2

≥1/2*(1+1/xy)^2

≥1/2*(1+4)^2

=25/2

证明完毕!

证明x>0,y>0 ,x²-6xy+y²>0

因式分解,x^2-6xy+8y^2=(x-2y)(x-4y)=0

所以x=2y或x=4y

所以x/y=2 或x/y=4

若x>1,y>0,且满足 xy=x y , x y ≥ x 3y ,则 y 的最大值是______

∵x>1,y>0,且满足 xy=x y ,

x

y ≥ x 3y ,

∴ xy×

x

y ≥ x 3y × x y

∴x 2 ≥x 4y

∵x>1

∴2≥4y

∴ y≤

1

2

∴y的最大值是

1

2

故答案为:

1

2