假设x>0, y>0, x,y 都为实数,且满足 e^y(1+x+x^2/2) = e^x(1+y+y^2/2), 证明或者反证x=
- 高中数学基本不等式,已知x>0,y>0
- X>0 Y>0 X+Y=1 求证(X+1/X)²+(Y+1/Y)²≥25/2
- 证明x>0,y>0 ,x²-6xy+y²>0
- 若x>1,y>0,且满足 xy=x y , x y ≥ x 3y ,则 y 的最大值是______
高中数学基本不等式,已知x>0,y>0
基本不等式的主要规则是一正二定三相等,即一般正值才能用;二是必须出现定值的时候才能放缩,当然,基本不等式两边都可以放缩,你可以变大,也可以变小;三是当且仅当两个变量相等的时候才能取等号。
你给的题目:
1、xy=9是定值,x>0,y>0满足正值;
所以:x+2y≥2√2xy=2√18=6√2
2、因为0<x<1,则,x>0,1-x>0,满足一正
又因为x+(1-x)=1为定值,则可以利用x+y≥2√xy自右向左放缩
所以:2x(1-x)≤2×[(x+1-x)/2]^2=1/2
当且仅当x=1-x,即x=1/2时取等号
X>0 Y>0 X+Y=1 求证(X+1/X)²+(Y+1/Y)²≥25/2
提示:
因为x + y = 1, 所以 2根号(xy) <= x + y = 1
所以 xy <= 1/4 (当 x = y = 1/2, '=' 成立)
所以 x^2 + y^2 = 1 - 2xy >= 1/2 ----------- (1)
且有 1/(xy)^2 >= 1/(1/4)^2 = 16 ----------- (2)
原式左边=
x^2 + 2 + 1/x^2 + y^2 + 2 + 1/y^2
= x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)/(xy)^2 + 4
根据(1),(2)可得
>= 1/2 + 16/2 + 4 = 25/2
即(x+1/x)^2 + (y+1/y)^2 >= 25/2
————————————————————————其他方法
证明:
(x+1/x)^2+(y+1/y)^2
≥1/2*[(x+1/x)+(y+1/y)]^2
≥1/2*[(x+y)+(1/x+1/y)]^2
=1/2*(1+1/xy)^2
由题知道:
x+y=1≥2√xy
即:
1/xy≥4
故有:
(x+1/x)^2+(y+1/y)^2
≥1/2*(1+1/xy)^2
≥1/2*(1+4)^2
=25/2
证明完毕!
证明x>0,y>0 ,x²-6xy+y²>0
因式分解,x^2-6xy+8y^2=(x-2y)(x-4y)=0
所以x=2y或x=4y
所以x/y=2 或x/y=4
若x>1,y>0,且满足 xy=x y , x y ≥ x 3y ,则 y 的最大值是______
∵x>1,y>0,且满足 xy=x y ,
x
y ≥ x 3y ,
∴ xy×
x
y ≥ x 3y × x y
∴x 2 ≥x 4y
∵x>1
∴2≥4y
∴ y≤
1
2
∴y的最大值是
1
2
故答案为:
1
2