椭圆通径最短证明 如何证明通径最短

简单证明如下:根据椭圆定义,椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率). 焦点F,长轴交准线于E,通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE,任一过.

方法一:设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1,过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不存在),然后方程联立,利用弦长公式可整理成关于m的函数式,从中求出当且仅当m=0时,弦长最短.方法二:利用椭圆的第二定义,将椭圆上的点转化为点到相应准线的距离,利用梯形的几何性质可以很容易得到.

第二定义.如过右焦点的弦2a-e(x1+x2)=2a-e(2x0) x0为弦中点横坐标.弦中点横坐标最大为焦点坐标.(通过图形可看出

1.(通法笨法)椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1, 过焦点F(c,0)的直线方程为x=ky+c.整理成关于k的函数式, 2.(几何法巧法)利用椭圆的第二定义:将椭圆上的点转化为点到相应准线的距离.3.(结论)焦半径公式.(利用椭圆的第二定义证明得来).4.(结论)若椭圆的焦点弦 所在直线的倾斜角为θ ,a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距,则有|F1F2|=2ab^2/(a^2-c^2cosθ ).(可以简单证明)

有一种几何证明.过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率·(A到准线的距离+B到准线的距离)= 2·离心率·AB中点到准线的距离.设AB中点为M, 若FA ≥ FB, 则F在线段BM上.M到准线的距离 ≥ B到准线的距离, 可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离.而AB为通径时, M到准线的距离 = F到准线的距离.此时M到准线的距离取到最小值, 于是AB长度也取得最小值.

椭圆极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)过焦点做直线交椭圆于A,BA(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ)焦点弦长|AB|=ρ1+ρ2 =ep/(1-ecosθ)+ep/(1+ecosθ) =2ep/(1-e²cos²θ)当cosθ=π/2时,|AB|max=2ep即过椭圆焦点的弦中以通径长最短

解:设A(c,y0) B(c,-y0) 则通径|AB|=2y0 将A坐标代入方程x^2/a^2-y^2/b^2=1中: y^2/b^2=b^2/a^2 故y=b^2/a 即通径为2b^2/a 如有不懂,可追问!

双曲线和椭圆的通径是(2b^2)/a. 抛物线的通径是2p. a^2就是a的平方

虽然我很聪明,但这么说真的难到我了

解:通径是过焦点的垂线的截线长: 设A(c,y0) B(c,-y0) 代入x^2/a^2+y^2/b^2=1中: c^2/a^2+y0^2/b^2=1 移项得: y0^2=b^2*[(a^2-c^2)/a^2] =b^4/a^2 令y0>0 得b^2/a 故通径AB=|y0-(-y0)|=2y0=2b^2/a 如有不懂,可追问!