有关线性代数的题？ 线性代数题
有关线性代数的几道简单的题目
1. A^(-1)＝A*/┃A┃，┃A*┃＝┃A┃^(n-1)＝(1/2)^2＝1/4
于是：┃（2A）-1－5A*┃＝┃1/2×A-1－5A*┃＝┃-4A*┃＝－1.
┃A*┃＝┃A┃^(n-1)应该证明过，没证明也很简单：
┃A*┃= ┃┃A┃A^(-1)┃=┃A┃^n┃A^(-1)┃=┃A┃^(n-1).
2. 1 1 -3 -1 1
3 -1 -3 4 4 2行－1行×3，3行－1行
1 5 -9 -8 0 ------------------------→
1 1 -3 -1 1
0 -4 6 7 1 3行+2行
0 4 -6 -7 -1 -----------→
1 1 -3 -1 1
0 -4 6 7 1
0 0 0 0 0
系数行列式的秩为2，未知数有4个，于是自由变量有2个(4-2)不妨设为x3、x4
令(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入最后一个矩阵(所代表的齐次方程组x1+x2-3x3-x4=0和-4x2+6x3+7x4=0)求得基础解系：(3/2,3/2,1,0)T和(-3/4,7/4,0,1)T
求出最后一个矩阵(所代表的方程组x1+x2-3x3-x4=1和-4x2+6x3+7x4=1)的一个特解：令x3=x4=0,于是(5/4,-1/4,0,0) T
于是方程组的解是：k1(3/2,3/2,1,0)T +k2(-3/4,7/4,0,1)T+(5/4,-1/4,0,0) T
解线性方程组，先求出系数矩阵的秩，然后确定自由变量的个数，在由给定自由变量的值确定基础解系，然后求出方程组的一组特解，基本上步骤就这样.
3. 求矩阵列向量组一个极大无关组，只能对矩阵做列变换
2 -1 -1 1 2
1 1 -2 1 4 以第一列为准使第二列起第一行的数为0
4 -6 2 -2 4 ----------------------------------→
3 6 -9 7 9
2 0 0 0 0
1 3/2 -3/2 1/2 3 以第二列为准使第三列起第二行的数为0
4 -4 4 -4 0 ----------------------------------→
3 15/2 -15/2 11/2 6
2 0 0 0 0
1 3/2 0 0 0 以第四列为准使第五列起第三行的数为0
4 -4 0 -8/3 8 ----------------------------------→
3 15/2 0 3 -9
2 0 0 0 0
1 3/2 0 0 0
4 -4 0 -8/3 0
3 15/2 0 3 0
于是矩阵秩为3，考察最后一个矩阵，第1、2、4列不为0，于是原矩阵的1、2、4列构成一个最大无关向量组(不妨列向量设为α1、α2、α3、α4、α5)
考察第3列怎么变为0的：第一次变换中，第二列变换为了α2+α1/2第三列变换为了α3+α1/2,第二次变换中，第三列变换为了α2+α1/2+α3+α1/2
于是: α2+α1/2+α3+α1/2=0, α1+α2+α3=0，于是：α3=-α1-α1
同理: α2→α2+α1/2, α4→α4-α1/2→(α4-α1/2)-(α2+α1/2)/3
α5→α5-α1→(α5-α1)-2(α2+α1/2)→
(α5-α1)-2(α2+α1/2)+3[(α4-α1/2)-(α2+α1/2)/3]=0
于是: α5=4α1+3α2-3α4.
400题~~请教个线代题目
课本上明确给出定义：只有一行或者一列的矩阵叫做行矩阵或者列矩阵，也记做行向量或者列向量！！ 所以向量矩阵也满足 “设m*n矩阵A的秩R（A）=r ，则n元齐次方程Ax=0的解集S的秩是R（S）=n-r”这个定义，这是可以证明的~你想想就明白了。 还有我希望大家明确的是我现在是推导必要性！ 也就是说对任意X，满足XTAX=0，可以推出A=0！ 对于10楼的看法，我这样说你看能明白不：假设有个X可以满足A，和B使XTAX=0，XTBX=0，但是不能对任意X都满足XTBX=0，也就是说B对X不具备任意性。这样你尽管可以找到某个X使A不为0的时候满足条件，但是不能对任意X都满足。 我希望大家看看我的推导过程，因为我和同学讨论都发现推的没错误~~
几道线性代数的基本题目，要有解题过程，越详细越好！
第1题
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
第1行交换第2行-
1 3 1 1
3 1 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
第2行,第3行,第4行, 加上第1行×-3,-1,-1-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 -2 2 0
0 -2 0 2
第3行,第4行, 加上第2行×-1/4,-1/4-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 0 5/2 1/2
0 0 1/2 5/2
第4行, 加上第3行×-1/5-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 0 5/2 1/2
0 0 0 12/5
化上三角-
1 3 1 1
0 -8 -2 -2
0 0 5/2 1/2
0 0 0 12/5
主对角线相乘48
第2题
1 2 3 0 1
2 1 1 2 1
1 3 4 0 1
第2行,第3行, 加上第1行×-2,-1
1 2 3 0 1
0 -3 -5 2 -1
0 1 1 0 0
第2行交换第3行
1 2 3 0 1
0 1 1 0 0
0 -3 -5 2 -1
第1行,第3行, 加上第2行×-2,3
1 0 1 0 1
0 1 1 0 0
0 0 -2 2 -1
第1行,第2行, 加上第3行×1/2,1/2
1 0 0 1 1/2
0 1 0 1 -1/2
0 0 -2 2 -1
第3行, 提取公因子-2
1 0 0 1 1/2
0 1 0 1 -1/2
0 0 1 -1 1/2
化最简形
1 0 0 1 1/2
0 1 0 1 -1/2
0 0 1 -1 1/2
则向量组秩为3，且α1, α2, α3
是一个极大线性无关组，是向量空间的一组基，其维数是3
α4=α1+α2-α3
α5=α1/2-α2/2+α3/2
第4题
增广矩阵化最简行
1 1 1 1 1 1
3 2 1 1 -3 0
0 1 2 2 6 3
5 4 3 3 -1 2
第2行,第4行, 加上第1行×-3,-5
1 1 1 1 1 1
0 -1 -2 -2 -6 -3
0 1 2 2 6 3
0 -1 -2 -2 -6 -3
第2行交换第3行
1 1 1 1 1 1
0 1 2 2 6 3
0 -1 -2 -2 -6 -3
0 -1 -2 -2 -6 -3
第1行,第3行,第4行, 加上第2行×-1,1,1
1 0 -1 -1 -5 -2
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
化最简形
1 0 -1 -1 -5 -2
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 -1 -1 -5 -2
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -1 -1 -5 -2 0 0 0
0 1 2 2 6 3 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
第1行,第2行, 加上第3行×1,-2
1 0 0 -1 -5 -2 1 0 0
0 1 0 2 6 3 -2 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
第1行,第2行, 加上第4行×1,-2
1 0 0 0 -5 -2 1 1 0
0 1 0 0 6 3 -2 -2 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
第1行,第2行, 加上第5行×5,-6
1 0 0 0 0 -2 1 1 5
0 1 0 0 0 3 -2 -2 -6
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
化最简形
1 0 0 0 0 -2 1 1 5
0 1 0 0 0 3 -2 -2 -6
0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
得到特解
(-2,3,0,0,0)T
基础解系：
(1,-2,1,0,0)T
(1,-2,0,1,0)T
(5,-6,0,0,1)T
因此通解是
(-2,3,0,0,0)T + C1(1,-2,1,0,0)T + C2(1,-2,0,1,0)T + C3(5,-6,0,0,1)T
几个线性代数的题，求详细答案
1. 记 XA=B， 则 X=BA^(-1)
(A, E) =
[1 -1 1 1 0 0]
[1 1 0 0 1 0]
[2 1 1 0 0 1]
行初等变换为
[1 -1 1 1 0 0]
[0 2 -1 -1 1 0]
[0 3 -1 -2 0 1]
行初等变换为
[1 -1 1 1 0 0]
[0 2 -1 -1 1 0]
[0 6 -2 -4 0 2]
行初等变换为
[1 -1 1 1 0 0]
[0 2 -1 -1 1 0]
[0 0 1 -1 -3 2]
行初等变换为
[1 -1 0 2 3 -2]
[0 2 0 -2 -2 2]
[0 0 1 -1 -3 2]
行初等变换为
[1 0 0 1 2 -1]
[0 1 0 -1 -1 1]
[0 0 1 -1 -3 2]
则 A^(-1) =
[ 1 2 -1]
[-1 -1 1]
[-1 -3 2]
X = BA^(-1) =
[ 2 9 -5]
[-2 -8 6]
[-6 -16 11]
2. |λE-A| =
|λ+2 -1 -1|
| 0 λ-2 0|
| 4 -1 λ-3|
=(λ-2)[(λ+2)(λ-3)+4] = (λ+1)(λ-2)^2.
A 的特征值是 λ=-1，2，2。
对于特征值λ=-1，λE-A =
[1 -1 -1]
[0 -3 0]
[4 -1 -4]
行初等变换为
[1 -1 -1]
[0 1 0]
[0 0 0]
得特征向量为 (1, 0, 1)^T;
对于重特征值λ=2，λE-A =
[4 -1 -1]
[0 0 0]
[4 -1 -1]
行初等变换为
[4 -1 -1]
[0 0 0]
[0 0 0]
得特征向量为 (1，4, 0)^T，(1, 0, 4)^T。
有两个线性无关的特征向量，
则A可以相似于对角阵 B=diag(-1, 2, 2).
3. A = (α1,α2,α3, α4) =
[ 1 2 0 3]
[ 2 0 -4 -2]
[-1 3 5 7]
[ 1 0 -2 -1]
行初等变换为
[ 1 2 0 3]
[ 0 -4 -4 -8]
[ 0 5 5 10]
[ 0 -2 -2 -4]
行初等变换为
[ 1 0 -2 -1]
[ 0 1 1 2]
[ 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0]
其一个极大线性无关组是 α1, α2。
α3=-2α1+α2， α4=-α1+2α2。
4. 增广矩阵 （A，b）=
[1 2 -1 4 2]
[1 -3 2 -3 -1]
[1 7 -4 11 5]
行初等变换为
[1 2 -1 4 2]
[0 -5 3 -7 -3]
[0 5 -3 7 3]
行初等变换为
[1 2 -1 4 2]
[0 5 -3 7 3]
[0 0 0 0 0]
r(A)=r(A,b)=2<4, 方程组有无穷多解。
方程组已同解变形为
x1+2x2=2 +x3-4x4
5x2=3+3x3-7x4
取 x3=-1, x4=0, 得特解 (1, 0, -1, 0)^T,
导出组即对应的齐次方程组是
x1+2x2= x3-4x4
5x2=3x3-7x4
取 x3=5, x4=0, 得基础解系 (-1, 3, 5, 0)^T,
取 x3=0, x4=5, 得基础解系 (6, 7, 0, -5)^T,
方程组胡通解是
x=(1, 0, -1, 0)^T+k(-1, 3, 5, 0)^T+c(6, 7, 0, -5)^T,
其中 k，c 为任意常数。
5. f(x1,x2,x3)= (x1)^2+2(x2)^2+2x1x2-2x1x3
=(x1+x2-x3)^2+(x2)^2-(x3)^2+2x2x3
=(x1+x2-x3)^2+(x2+x3)^2-2(x3)^2,
作非退化线性变换 y1=x1+x2-x3, y2=x2+x3, y3=x3,
二次型化为标准型 f=(y1)^2+(y2)^2-2y(3)^2.
该二次型不是正定二次型。