求二重积分∫∫y*（根号下（1+x^2-y^2））dxdy,其中D是由直线y=x,x=-1,y=1

• 计算二重积分根号下1-Y^2 ，其中D为X^2+Y^2=1及Y=|X|所围成的区域？
• 求二重积分∫∫y*（根号下（1+x^2-y^2））dxdy,其中D是由直线y=x,x=-1,y=1所围成
• 由二重积分几何意义,∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy= ,其中D={(x,y)| x^2+y^2 <=1, x,y>=0}
• 求二重积分 =∫∫(1-x-y)dxdy，其中D为x^2+y^2<=1。

计算二重积分根号下1-Y^2 ，其中D为X^2+Y^2=1及Y=|X|所围成的区域？

阴影区域在哪？图不完全！

如果积分区域 D 是指 y = |x| 与单位圆 围成的上部区域， 其第 1 象限部分记为 D1，则

I = ∫∫<D>√(1-y^2)dxdy = 2∫∫<D1>√(1-y^2)dxdy

= 2∫<π/4, π/2>dt∫<0, 1>√[1-(rsint)^2] rdr

= -∫<π/4, π/2>(csct)^2dt∫<0, 1>√[1-(rsint)^2] d[1-(rsint)^2]

= (-2/3)∫<π/4, π/2>(csct)^2dt [1-(rsint)^2]^(3/2)<0, 1>

= (-2/3)∫<π/4, π/2>(csct)^2[(cost)^3-1]dt

= (-2/3){∫<π/4, π/2>[1-(sint)^2]dsint/(sint)^2 - [-cott]<π/4, π/2>}

= (-2/3){[-1/sint - sint]<π/4, π/2> - 1]

= (-2/3)[-2+3√2/2 -1] = 2-√2

求二重积分∫∫y*（根号下（1+x^2-y^2））dxdy,其中D是由直线y=x,x=-1,y=1所围成

本题需要先积y，若先积x计算量会很大。 ∫∫（y√1+x²-y²）dxdy =∫[-1--->1] dx ∫[x--->1]（y√1+x²-y²）dy =(1/2)∫[-1--->1] dx ∫[x--->1]（√1+x²-y²）d(y²) =(-1/2)∫[-1--->1] (2/3)(1+x²-y²)^(3/2) |[x--->1] dx =(-1/3)∫[-1--->1] [|x|³-1] dx 注意这里不能写x³，因为x有负值 被积函数是偶函数，由奇偶对称性 =(-2/3)∫[0--->1] [|x|³-1] dx =(2/3)∫[0--->1] [1-x³] dx =(2/3)(x-x⁴/4) |[0--->1] =(2/3)(1-1/4) =1/2

由二重积分几何意义,∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy= ,其中D={(x,y)| x^2+y^2 <=1, x,y>=0}

1D二重积∫∫f(x,y)dxdy几何意义D底曲面z=f(x,y)顶曲顶柱体体积本题根据积函数积区域看积表示球体x^2+y^2+z^2=1第卦限内部体积积=π/6

2由于两积积区域相同要比较积函数D即由e≤x^2+y^2≤2e知ln(x^2+y^2)≥1In(x^2+y^2)≤∫[In(x^2+y^2)]^3即∫∫In(x^2+y^2)dxdy≤∫∫[In(x^2+y^2)]^3dxdy

求二重积分 =∫∫(1-x-y)dxdy，其中D为x^2+y^2<=1。

利用二重积分的对称性：

记x=1和y=4-x^2的交点为p，连接原点o和p，将积分区域分成两部分。一部分关于x轴对称，一部分关于y轴对称，而被积函数关于x，y都是奇函数，所以结果为0。