在线等微积分请问这个简单的式子怎么得出来的？换元法dx怎么变成dt

这是微积分里的一个基本公式求如何证明

根据导数定义：F(x+△x)-F(x)=∫（x->x+△x）f(t)dt=f`(y)△x

y介于x △x之间（这步运用积分中值定理）

当△x->0 ,y->x就有这个公示了

这个是第二类换元积分；设：x=tant;dx=sec^2tdt

则 :∫sqrt(1+x^2)dx＝∫sec^3tdt=∫sectd(tant)

=sect*tant-∫sect(sec^2t-1)dt

=sect*tant-∫sec^3tdt+∫sectdt

=sect*tant+ln|sect+tant|-∫sec^3tdt

∫sec^3tdt与等号左边是一样的，移项到左边，得2＊∫sec^3tdt

将2除过来得：∫sec^3tdt=(1/2)*(sect*tant)+(1/2)*ln|sect+tant|+C

将t换回x,得：

∫sqrt(1+x^2)dx＝(1/2)*x*sqrt(1+x^2)+(1/2)*ln|sqrt(1+x^2)+x|+C

有一个推导公式是:

∫sqrt(a^2+x^2)dx＝(x/2)*sqrt(a^2+x^2)+(a^2/2)ln|sqrt(a^2+x^2)+x|+C