求极限lim n→无穷 （兀/n）∑（k=1→n）sink兀/n limn 0 根号下1+2+3

• 求极限lim(n→∞)∑(k=1,n)k/(n^2+n+k)详细过程
• 用定积分求极限lim(n->∞)∑(k=1,n)1/(n+k)
• 求极限lim∑n^{1/k}/n
• 求极限lim(n→无穷) (n!)/(n^n)

求极限lim(n→∞)∑(k=1,n)k/(n^2+n+k)详细过程

因为k=1,

分母n^2+n+k=(n+1/2)^2+3/4,当(n→∞)分母也崔近无穷大，

又因为分子为1，

所以式子转化为

lim(x→∞)∑(x) 1/x

答案为0

用定积分求极限lim(n->∞)∑(k=1,n)1/(n+k)

∫<0,n>dx/(n+x)<∑(k=1,n)1/(n+k)<∫<0,n>dx/(n-1+x),

∫<0,n>dx/(n+x)=ln(n+x)|<0,n>=ln(2n)-lnn=ln2,

n->∞时,∫<0,n>dx/(n-1+x)=ln(n-1+x)|<0,n>=ln(2n-1)-ln(n-1)

=ln[(2n-1)/(n-1)]→ln2,

∴所求极限=ln2.

求极限lim∑n^{1/k}/n

解：题目是不是漏了“k为正整数”的条件？若是，分享一种解法。用c(k+1,i)(i=0,1,……,k+1)表示从k+1中取出i个数的组合数。利用自然数1到n的k次方求和公式的递推式n^(k+1)-(n-1)^(k+1)=c(k+1,1)n^k-c(k+1,2)n^(k-1)+c(k+1,3)n^(k-2)+……-(-1)^(k+1)。对其求和，整理有n^(k+1)-(k+1)∑n^k=-c(k+1,2)∑n^(k-1)+∑c(k+1,3)n^(k-2)+……-(-1)^(k+1)n。又(1^k+2^k+……+n^k)/n^k-n/(k+1)=[(k+1)∑m^k-n^(k+1)]/[(k+1)n^k]=[c(k+1,2)∑n^(k-1)-∑c(k+1,3)n^(k-2)+……+n(-1)^(k+1)]/[(k+1)n^k]（m=1,2,……n)。按照前述递推式，k∑n^(k-1)的首项必然是n^k，而其余项的次数均比k低，∴lim(n→∞)[(1^k+2^k+……+n^k)/n^k-n/(k+1)]=1/2。供参考。

求极限lim(n→无穷) (n!)/(n^n)

0<(n!)/(n^n)<=1/n，由夹逼定理知原极限等于0