A的伴随矩阵的秩和A的秩的关系是怎么证明的?(矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系？)
矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系？
矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系：
1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；
2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；
3、如果 A 秩 < n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）
矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n
R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0，从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以R（A*）=1
R（A）<n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零，A*即为零（规定：零矩阵的秩为零），故R（A*）=0
扩展资料
矩阵的秩的性质：
1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
2、 初等变换不改变矩阵的秩。
3、 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
4、P，Q为可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
矩阵的秩和伴随矩阵的秩之间有什么关系
根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：
1.当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；
2.当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;
3.当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。
如何证明伴随矩阵秩r(A*)与r(A)的关系
（1）由于AA*=|A|E ，所以|A||A*|=||A|E| ，
而|A|E相当于给单位阵E中所有的1乘以一个系数|A|.一共乘了n个，因为n阶嘛。
所以||A|E| =|A|^n，
所以，|A||A*|=|A|^n， 则|A*|=|A|^(n-1)
某矩阵可逆，说明其秩一定为n.
因为 A^(-1)=A*/|A| ， 如果秩<n,说明经过初等变换有全零行（或列）出现，
则|A| =0, A^(-1)就不存在了。
（2）上面题目提及，A为方阵，所以，行列是相等的，均为n. 求矩阵的秩就是经过初等变换。化为对角阵的形式，如果非零行有k 个，则其秩为k。如果全部都是非零行，那么就是n。
上面提到了更准确的叫法，就是找低阶子式。能使得其不出现全零行。
讨论r(A)全是因为 AA*=|A|E 这个等式。
如果r(A)=n-1,说明经过初等变换A里面有全零行出现（如果没有，就是n）。所以|A|=0
则：AA*=|A|E =O
根据线性方程组的解特点.A*为AX=0的解。所以：则r(A)+r(A*)<=n
而 r(A)=n-1, 则r(A*)<=1
又因为A*不可能是零矩阵（除非A也是零矩阵）。所以r(A*)=1
扩展资料：
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。
特殊求法：
1、当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。
主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为 = ,所以 ，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
2、当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
3、二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。
参考资料：搜狗百科--伴随矩阵
n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵的秩是什么关系？
1、如果矩阵A满秩，则矩阵A的伴随阵A*满秩；
2、如果矩阵A秩是 n-1，则矩阵A的伴随阵A*秩为 1 ；
3、如果矩阵A秩 < n-1，则矩阵A的伴随阵A*秩为 0 。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
扩展资料：
矩阵的秩的性质：
1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
2、初等变换不改变矩阵的秩。
3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
4、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
5、r(A)=0 <=> A=0
6、r(A+B)<=r(A)+r(B)
7、r(AB)<=min(r(A),r(B))
8、r(A)+r(B)-n<=r(AB)