（A+B）（A非+C）（B+C）=（A+B）（A非+C）怎么证明？(证明ABC+（非A非B非C）== 非（A·非B + B·非C + 非A·C）)

证明ABC+（非A非B非C）== 非（A·非B + B·非C + 非A·C）

(A+B)的非=A非*B非

得到右边=(A*非b)的非交 (b*非c)的非交 (c*非a)的非

反复利用交并集与非的关系右边=（非a+b）（非b+c）（非c+a）

得证

AB+A非C+BC=AB+A非C+BC(A+A非)=(AB+ABC)+(A非C+A非BC)=AB(1+C)+A非C(1+B)=AB+A非C

主要使用结论: 两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.

首先, 若a, b, c中有0, 易见((a,b),c) = 0 = (a,b,c). 以下只讨论a, b, c ≠ 0的情况.

∵(a,b,c)是a, b, c的公约数, 即(a,b,c) | a, (a,b,c) | b, (a,b,c) | c,

∴(a,b,c) | (a,b), (a,b,c) | c, 即(a,b,c)是(a,b)和c的公约数,

∴(a,b,c) | ((a,b),c).

由a, b, c ≠ 0, 有((a,b),c) > 0, 于是(a,b,c) ≤ ((a,b),c).

而∵((a,b),c)是(a,b)和c的公约数, 即((a,b),c) | (a,b), ((a,b),c) | c,

∴((a,b),c) | a, ((a,b),c) | b, ((a,b),c) | c, 即((a,b),c)是a, b, c的公约数.

∴((a,b),c) ≤ (a,b,c).

于是只有((a,b),c) = (a,b,c).

至于怎么证明两个数的公约数一定整除它们的最大公约数.

这个用裴蜀(Bézout)定理, 存在整数x, y使ax+by = (a,b).

易见a, b的公约数一定整除左边, 因此也整除右边.

Bézout定理则是用带余除法证明的.

左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)=AB+AC+ABC+ABC

=AB（1+C）+AC（1+B）=AB+AC=右式