定比分点公式法证明糖水不等式？(糖水不等式的证明方法)

糖水不等式的证明方法
定比分点公式的详细讲解
糖水不等式，君子不等式的性质及证明
定比分点公式

糖水不等式的证明方法

有分数，在分子分母同时加上一个，即：

则用作差法表示为：

∵a>b>0,c>0

∴

∴一个真分数在分母分子同时加上一个正数时，分数将变大。正如同糖水里加糖会越来越甜。

糖水不等式：

成立。根据作商法可知：

若糖水不等式成立，则不等式：

也成立。

由不等式左边得：

即：

∵a>b>0且c>0

∴ab>0,ac>bc>0

即：

∴不等式：

成立，糖水不等式：

也成立。由不等式的基本性质和糖水不等式有：

⇒

∵c>0

∴此不等式成立，糖水不等式：

也成立。 1.综合法

2.构造函数法

3.定比分点公式法

定比分点公式的详细讲解

1.线段的定比分点及λ： P1，P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。P点位置与λ的关系以P1P2中点为原点，x轴表示P相对P1 P2的位置，y轴表示λ的取值根据右图，从左往右看，λ 的取值有以下五种情况 ①P在P1左边（P在向量P1P2反向延长线上），λ∈（-1，0） ②P与P1重合，λ=0 ③P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞） *i. P在P1与原点之间，即P1P＜PP2，λ∈（0，1） *ii. P与原点重合，即P1P=PP2，λ=1 *iii. P在原点与P2之间，即P1P＞PP2，λ∈（1，+∞） ④P与P2重合，λ∈Φ ⑤P在P2右边（P在向量P1P2正向延长线上），λ∈（-∞，-1） 2 定比分点公式：若设点P1（x1,y1），P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2 即 P1P=λPP2 由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1），PP2=（x2-x, y2-y） ∴ （x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y） ∴ 定比分点公式为， λ=（x-x1）/（x2-x） λ=（y-y1）/（y2-y） 3.定比分点坐标公式： ∴λ=（x-x1）/（x2-x） ∴λx2-λx=x-x1 λx2+x1=λx+x 得，x=（λx2+x1）/（λ+1）同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）注：当λ=1时，即中点坐标公式。

糖水不等式，君子不等式的性质及证明

糖水问题

在含有a克糖的b克糖水中,加入m克糖,糖水会变甜.

这一事实中,我们可以得到这样一个数学命题：

如果b＞a＞0,那么a/b＜(a+m)/(b+m),其中m＞0，m为实数

解：

从化学角度说，糖水会变甜，指溶解在水中的糖的质量分数变大了

原糖水中溶解在水中的糖的质量分数=a/b*100%

加入m克糖,即溶液中溶质的量增大了，增大后溶解在水中的糖的质量=a+m

同样的，溶液的质量也增大了，增大后溶液的质量变为b+m

所以加入m克糖后，溶解在水中的糖的质量分数增大为=（a+m)/(b+m)*100%

溶液质量大于溶质质量大于0,b＞a＞0

从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0，m为实数)

从数学角度，我们则要进行计算，如下：

(a+m)/(b+m)-a/b

=[(a+m)b-(b+m)a]/(b+m)b

=m(b-a)/(b+m)b

其中(b+m)b 为分母，(b+m)b＞0

m(b-a)为分子，由b＞a＞0，可知m(b-a)＞0

所以m(b-a)/(b+m)b ＞0

即(a+m)/(b+m)-a/b＞0

可知(a+m)/(b+m)＞a/b

从而得到结论a/b＜(a+m)/(b+m) （注意 m取值范围m＞0，m为实数)

均值不等式的证明

证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，

则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)

即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)