求教这道极限(请大神求这道高数题的极限)
请大神求这道高数题的极限
lim cos(π/n)*lim∑i/(n^2 + i)
=1*lim∑i/(n^2 +i)
=lim∑i/(n^2 + i)
因为：
i/(n^2+n) ≤ i/(n^2 + i) ≤ i/(n^2 +1) 注：1≤ i ≤ n
所以，
∑i/(n^2 +n) ≤∑i/(n^2 + i) ≤∑i/(n^2 +1)
(1+2+┈+n)/(n^2 +n) ≤ ∑i/(n^2+i) ≤ (1+2 +┈ + n)/(n^2 + 1)
n(n+1)/[2*n(n+1)] ≤ ∑i/(n^2+i) ≤ n(n+1)/[2*(n^2 +1)]
1/2≤ ∑i/(n^2+i) ≤ (1 + 1/n)/[2*(1+1/n^2)] 注：分子、分母同除以 n^2
则：
1/2 ≤ lim∑i/(n^2+i) ≤ lim (1+0)/[2*(1+0)] = 1/2
所以，lim∑i/(n^2+i) = 1/2
因此，这道题的极限也等于 1/2。
这道极限怎么求呢？
然后求lim x->无穷
x(1/x+2^(1/x)-1)，为了好表示，设1/x=t,则t->0
lim t->0
(t+2^t-1)/t 洛必达
=lim [1+(2^t)*ln2]
=1+ln2
所以最后结果为e^(1+ln2)
=2e
求解这道极限题如何做？
1、第一题是无穷大比无穷大型不定式；
2、这类不定式，却是罗毕达否则不能适用的典型例子；
3、这类问题的解答方法是固定的：
A、化无穷大计算为无穷小计算；
B、无穷小直接用0代入。
4、第二题是函数的连续性问题，只要分左右极限考虑即可。
5、具体解答如下：
这道极限题怎么求？
NHK : 因为 (1 r r^2 r^3 ... r^n)*(1 - r)
= (1 r r^2 r^3 ... r^n) - [r r^2 r^3 r^4 ... r^(n 1)]
由于 r, r^2, r^3...等等....都可以互相減去.......
(1 r r^2 r^3 ... r^n)*(1 - r) = [1 - r^(n 1)]
所以 1 r r^2 r^3 ... r^n = [1 - r^(n 1)] / (1 - r)
或改写成 r^0 r^1 r^2 r^3 ... r^n = [1 - r^(n 1)] / (1 - r)
原式 = lim n->无限大 1/2^0 1/2^1 1/2^2 ... 1/2^n / 1/3^0 1/3^1 1/3^2 ... 1/3^n
1 1/2 1/4 .... 1/2^n is a geometic series and the common difference is 1/2.
Similarly, 1 1/3 1/9 .... 1/3^n is a geometic series and the common difference is 1/3.
原式化简后 = lim n->无限大 {[1 - 1/2^(n 1)] / (1 - 1/2)} / {[1 - 1/3^(n 1)] / (1 - 1/3)}
= lim n->无限大 [1 - 1/2^(n 1)]*(1 - 1/3) / (1 - 1/2)*[1 - 1/3^(n 1)]
= lim n->无限大 [1 - 1/2^(n 1)]*(2/3) / (1/2)*[1 - 1/3^(n 1)]
= lim n->无限大 4/3*[1 - 1/2^(n 1)] / [1 - 1/3^(n 1)]
由于 lim n->无限大 1/2^(n 1) = 0 和 lim n->无限大 1/3^(n 1) = 0
= lim n->无限大 4/3*(1 - 0) / (1 - 0)
= 4/3 <----- 最终答案