积分问题 x*dx/(1+x^2)^(3/2)？(如图，求不定积分∫1/[(1+x^2)^3/2]dx，请问图中结果怎么算来的，求详细解题步骤。

• 如图，求不定积分∫1/[(1+x^2)^3/2]dx，请问图中结果怎么算来的，求详细解题步骤。
• ∫dx/(1+x^2)^3/2 = ?
• 求不定积分∫xlnx/((1+x∧2)∧3/2)dx
• ∫(1-x^2)^(3/2) dx不定积分求解！！

如图，求不定积分∫1/[(1+x^2)^3/2]dx，请问图中结果怎么算来的，求详细解题步骤。

首先考虑换元法

令x=tant

则dx=(sect)^2 dt

所以原式=∫(sect)^(-3) * (sect)^2 dt'

=∫(sect)^(-1) dt

=∫cost dt

=sint + C

=tant / √(1+(tant)^2) + C

=x/√(1+x^2) + C

扩展资料:

性质：

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数 

 及 

 的原函数存在，则

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数 

 的原函数存在， 

 非零常数，则

。

积分公式

注：以下的C都是指任意积分常数。

1、 

 ，a是常数

2、 

 ，其中a为常数，且a ≠ -1

3、 

4、 

5、 

 ，其中a > 0 ，且a ≠ 1

6、 

7、 

8、 

9、 

10、 

11、 

12、 

13、 

参考资料：搜狗百科——不定积分

∫dx/(1+x^2)^3/2 = ?

令x=tant 则(1+x^2)^3/2=(sect)^3 dx=(sect)^2dt

∫dx/(1+x^2)^3/2 =∫costdt=sint+c=x/(1+x^2)^1/2+c

求不定积分∫xlnx/((1+x∧2)∧3/2)dx

∫[xlnx/(1+x^2)^3/2]dx

=-lnx/√(1+x^2)+∫dx/[x√(1+x^2)] (应用分部积分法)

=-lnx/√(1+x^2)+∫csctdt (令x=tant)

=-lnx/√(1+x^2)-ln│csct+cott│+C (C是常数)

=-lnx/√(1+x^2)-ln│[1+√(1+x^2)]/x│+C

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

扩展资料：

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式。

一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。

参考资料来源：百度百科——不定积分

∫(1-x^2)^(3/2) dx不定积分求解！！

这就是一个很简单的三角换元，令x=sint，则dx=costdt,∫(1-x^2)^(3/2) dx=∫cost(1-(sint)^2)^3/2dt=∫(cost)^4dt=∫((cos4t)/8+(cos2t)/2+3/8)dt(二倍角公式得到的)=-(sin4t)/32-(sin2t)/4+3t/8

=-sintcost(1-2(sint)^2)/8-sintcost/2+3t/3(还是二倍角)=-x(1-x^2)^1/2(5-2x^2)/8+3arcsinx/8