讨论函数f(x,y)=x²y/x²+y²，x²+y²不等于0，0，x=y=0在原点的连续性？

讨论f(x,y)={xy²/x²+y^4(x²+y²≠0),0(x³+y³=0)}在(0,0)的

f(x,y)={xy²/(x²+y^4)(x²+y²≠0),.................{0(x^2+y^2=0)(改题了) 设x=rcosu,y=rsinu,则(x,y)→(0,0),变为r→0,f(x,y)=rcosu(sinu)^2/[(cosu)^2+r^2(sinu)^4],x=y^2时f(x,y)→1/2,u=(k+1/2)π,k∈Z时f(x,y)→0,∴f(x,y)的极限不存在,∴f(x,y)在(0,0)处不连续.在(0,0)处的偏导数 ∂f/∂x=lim<x→0>y^2/(x^2+y^4)=1/y^2,∂f/∂y=lim<y→0>xy/(x^2+y^2)=0.

设f(x+y,y/x)=x² - y²,求f(x,y)

令x+y=u,y/x=v,则x=u/(v+1),y=uv/(v+1) f(u,v)=[u/(v+1)]²- [uv/(v+1)]²=u²(1-v²)/(v+1)² 将u换成x,v换成y,得:f(x,y)=x²(1-y²)/(y+1)²

f(x,y)=xy²/x²+y²

令a=x+y,b=xy 则x²+y²=a²-2b 所以f(a,b)=b/(a²-2b) 所以f(x,y)=y/(x²-2y)

设函数z=f(x,y)由方程x² y² z² - 6z=0确定,求∂²z/∂x∂y

∂²z/∂x∂y:二阶混合偏导数 x²+y²+z²-6z=0 方程两边对x求偏导:2x+2z∂z/∂x-6∂z/∂x=0 隐函数求导 即∂z/∂x=x/(3-z) 方程两边对y求偏导:2y+2z∂z/∂y-6∂z/∂y=0 即∂z/∂x=y/(3-z) ∴∂²z/∂x∂y=x(∂z/∂y)/(3-z)²=xy/(3-z)³ 或:∂²z/∂x∂y=y(∂z/∂x)/(3-z)²=xy/(3-z)³

求函数f ( x, y) = x² + 2 y² - x² y²在区域D

x² + y² ≦4,x² ≦4-y² ,则f ( x, y) = x² + 2 y² - x² y²≦4-y²+ 2 y² -(4-y²)* y²=4+ y² -4 y² + y4=4 -3 y² + y4=(y2-3/2)2+7/4 当y2-3/2=0,y2=3/2时,函数有极小值=7/4 当y=0时,函数有极大值=9/4+7/4=4

求函数f(x,y)=(x²+y²)² - 2(x² - y²)的极值

f'x(x,y)=e^x(x+2y+y^2+1)=0 f'y(x,y)=2e^x(1+y)=0 解得x=0 y=-1 a=f''xx(x,y)=e^x(x+2y+y^2+2)=1 b=f''xy(x,y)=2e^x(1+y)=0 c=f''yy(x,y)=2e^x=2 ac-b^2=2>0,a>0 所以函数在(0,-1)处取得极小值=-1

研究下列函数的连续性:f(x,y)=x² - y²/x+y, (x,y)≠(0,0) 0, (x,y)=(0,0)

极限=函数值,所以连续

讨论函数f(x,y)=y² - x²+1是否有极值

讨论函数f(x,y)=y²-x²+1是否有极值 解:令∂f/∂x=-2x=0,得x=0;∂f/∂y=2y=0,得y=0;故得唯一驻点(0,0);在点(0,0)求得: A= ∂²f/∂x²=-2;B=∂²f/∂x∂y=0;C=∂²f/∂y²=2;因为B²-AC=0-(-4)=4>0,故该函数无极值.

讨论函数f(x,y)={x.arctany/x,x≠0,

f(x)与函数x=y+arctany互为反函数所以f(x)=y=x+arctanx所以y'=1+1/(1+x^2)=(x^2+2)/(x^2+1)所以df(x)=[(x^2+2)/(x^2+1)]dx

若f(x+y,x - 2y)=x² - y²,求f(x - y,x/y)

令x+y=a,x-2y=b,求得x=(2a+b)/3,y=(a-b)/3 带入原方程得f(a,b)=[(2a+b)/3]²-[(a-b)/3]²=(a²+2ab)/3 于是f(x,y)=(x²+2xy)/3 于是f(x-y,x/y)=[(x-y)²+2(x-y)*x/y]/3=⅓[(x²+y²-2xy+(2x²/y)-2x]