应用留数定理求定积分

由留数定理计算定积分

留数定理也不是万能的 能计算2113以下三种定积分:∫(0→2π) R(cosθ5261,sinθ) dθ、各种三角函数 ∫(-∞4102→+∞) Q(x)/P(x) dx,其中Q(x)的次数至少比P(x)高二次、各种有理数 ∫(-∞→+∞) R(x)cos(ax) dx 与 ∫(-∞→+∞) R(x)sin(ax) dx、各种有理数与三角函数的乘积 因此必须先注意积分限是否适1653合,然后注意被积函回数是否也适合 若不是以上的积分限,但能通过变换而转换得到的话,也能用留数答定理

利用留数定理计算积分

如图所示:

利用留数定理计算积分∫{[ln(1+z)]/z}dz,C:|z|=2

在C内(|z|=2),z=0是f(z)=[ln(1+z)]/z的孤立奇点,但z=-1不是f(z)的孤立奇点,ln(1+z)在z=-1以及小于-1的负实轴上不解析,所以f(z)在z=-1以及小于-1的负实轴上也不解析,所以无法应用留数定理计算积分∮f(z)dz,自然也无法计算f(z)在-1处的留数Res[f(z),-1].

请用留数定理计算这个积分

利用无穷远点的奇点.∑Res[f(z),z]=--Res[f(z),∞]这道题的奇点有z=3,z=∞和z^5=1的解.-Res[f(z),∞]=-Res[f(1\z)*1\z^2,0]原式整理后在用正常的留数计算方法计算.

这个积分用留数定理怎么做?

这是因为在求这个不定积分的时候,是用万能代换t=tan(x/2)求的,这有个弊端就是tanx的周期你没法回避,你这个换元只在-π到π上有效.而而且定积分的换元和不定积分不一样,用定积分的换元来直接做,和你先求原函数再用NL公式算的结果可能不一样.这题请你直接用定积分的换元去试试,不要把上下限代入原函数中,你会发现结果就又变了.

运用留数计算积分

这2个积分不能用留数来计算留数计算∫{-∞,+∞}f(x)dx型积分的时候要求f(x)是有理函数,即分子和分母分别是x的m和n次多项式并且m,n为非负整数,以及n>=m+2以上两个积分的被积函数不是有理函数

利用留数计算积分(e^(z^2)-1)/(z^2(z^2-9)),其中c是|z|=1的正向 - .

被积函数f(z)的奇点包括z=0和z=±3,而只有z=0在积分闭曲线|z|=1内部,故只需计算z=0处的留数即可.首先判断z=0的奇点类型,由于z趋于0时极限limf(z)=limz^2/[z^2(z^2-9))]=-1/9为有限数,故z=0为可去奇点,其洛朗展开式中不含负幂项,故f(z)在z=0处的留数等于0.根据留数定理,所求积分=2πiRes[f(z),0]=0.

关于留数在定积分计算中的运用.如图中的cosmx等于eimx是怎么来的?

cosmx是e^(imx)的实部,原来的积分I是现在这个积分的实部的一半,现在的这个积分可以变成一个复变函数的积分,用留数定理计算.

关于留数在定积分计算上的应用的题目,有些地方不明白求解答. 如图.

因为z_k^4=a^4成立啊. 另外,留数的计算公式应用了一级极点的第二个公式,就是p(z)/q(z), 分母求导那个.

留数在定积分计算上的应用 为什么只求上半平面

解释不够好,这样一共两负号还是正了,其次你在看积分线,同样往实轴向下平面围一圈,这样就出现一个负号一般的都只算上半平面,希望对你有帮助,这样就与我们选的顺时针相反了嘛,发现是顺时针的,因为我们选围线积分时,选的是逆时针为正呀!对于下半平面首先多个负号!所以不管是上半平面还是下半平面都一样!一般研究上半平面