例:对任意x>0,有(x 1)In(x 1)>ax恒成立,则a的范围是多少用分类讨论的方法？

对于任意实数x>0,x+1/(x+a)>a①恒成立,令x→0+,由极限保号性得1/a>=a,a-1/a=(a+1)(a-1)/aax+a^2,a^20恒成立,∴a的取值范围是(0,1].

解: (1) 对函数f(x)=xlnx求导得: f'(x)=lnx+1 令lnx+1=0,x=1/e 当x>1/e时,f'(x)>0 当0<x<1/e时,f'(x)<0 所以f(x)先减后增,最小值为f(1/e)=-1/e (2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1 则a≤[f(x)+1]/x, 则a≤[f(x)+1]/x的最小值 以下求[f(x)+1]/x的最小值 令g(x)=[f(x)+1]/x=(xlnx+1)/x=lnx+1/x 求导得g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2 令(x-1)/x^2=0,则x=1 当x>1时,g'(x)>0,即g(x)在x≥1时单调递增,最小值为g(1)=1 所以a≤1

[(x+1)ln(x+1)]/x=a 左边f(x)求导=[xln(x+1)+x-(x+1)ln(x+1)]/x²=[x-ln(x+1)]/x² 在(0,+∞)递增 x→0时,f(x)→1 ∴a>1

-10 就有1>=a当x=-1当x=0 就有a∈R,因为对于任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,所以a应该取以上三个区间的交集即-1评论0 00