二重积分平移变换,高数这道二重积分的题目怎么解啊？
元旦快乐!Happy New Year !1、这是二元复合函数的偏导题,解答方法是: 根据复合关系,运用全导数+链式求导方法;2、最后的结果可以是u、v的函数,也可以是x、y的函数, 没有强求一致,甚至是u、v、x、y的混合也可以.3、具体解答如下,若看不清楚,请点击放大:
∫∫D 通常表示二重积分,后面微分符号要么是 dσ,要么是 你这两题,要么只有 dx,要么什么都没有,少见啊.第一图:如果后面是 dσ,根据意义,表示区域 D 的面积,结果 = 4π;第二图:如果后面是 dxdy,表示半球面 x^2+y^2+z^2=9 (z>0) 的体积,因此结果 = 4/3 * π * 3^3 /2 = 18π .
∫dx1/(x-y)|4-1=∫dx·(1/x-4 - 1/x-3)=ln(x-4)-ln(x-3)=ln[(x-4)/(x-3)]=ln2-ln3/2=ln4/3 你确定选D?
二重积分平移变换
只算新坐标下二重积分就行.在作平移代换后,雅可比行列式值=1.
具体问题具体分析 平移之后能利用对称性和奇偶性简化积分 我们就使用平移 ,当然要对奇偶对称性很熟练;至于什么面积之差就求出体积了 你还是发具体问题吧 没有什么定论. 被积分函数都化为常数了 当然区域面积之差就等于曲顶柱体的体积了.
这题的积分区域---圆域的圆心为(1/2,1/2),半径为(√2)/2 因为圆心非原点,所以无论用直角坐标还是极坐标,上下限都不好确定.所以应想到把圆域平移到原点处,.
奇偶性平移解积分
采纳我吧!先判断原函数是一个奇函数 f(x)=-f(-x)又有积分上下限是关于原点对称的,所以积分为0不定积分可以通过函数的面积来求奇函数关于原点对称那部分于x轴形成的面积就是0上下限关于0对称的奇函数的不定积分也是0
解答如下图片:利用函数奇偶性求定积分,先确认积分区间是否关于远点对称,在来判断积分函数的奇偶性,如果积分函数为奇函数,则其在积分区间上定积分为0;如果积分函数为偶函数,则其在积分区间上的定积分为2倍的积分区间一半的定积分值,如题目中的即为偶函数求定积分,所以其定积分值为2倍[0,1/2]的定积分值
解答:原式=∫(x-3)(4-x²)½dx =∫x(4-x²)½dx-∫3(4-x²)½dx(上限2下限-2) 设f(x)=x(4-x²)½,g(x)=3(4-x²)½ 因为f(-x)=-x(4-x²)½=-f(x),所以f(x)为奇函数 因为g(-x)=3(4-x²)½=g(x),所以g(x)为偶函数 所以原式=0-2∫3(4-x²)½dx (上限2,下限0) =-6∫(4-x²)½dx=-6π (其中定积分是一个以2为半径的圆的面积的1/4)
二重积分区域平移
被积函数是常数 就没有影响
换元后积分区域变成关于u,v的圆形区域:1、奇函数在对称区间的积分等于0 第一项uv^2关于u为奇函数,而积分区域关于u=0对称,所以积分等于02、轮换对称性 积分区域u^2+v^2=(a/2)^2,交换u,v后v^2+u^2=(a/2)^2,与原来积分区域一致,所以这个积分区域满足轮换对称性,因此:∫∫a/2*v^2dudv = ∫∫a/2*u^2dudv,进而得到:∫∫a/2*v^2dudv = 1/2 *( ∫∫a/2*v^2dudv + ∫∫a/2*u^2dudv ) = a/4 * ∫∫( u^2+v^2) dudv
只算新坐标下二重积分就行.在作平移代换后,雅可比行列式值=1.
二重积分的奇偶性平移
本身二重积分就是计算曲顶柱体的体积,如果是x的偶函数,积分结果就等于在x>0部分积分结果的二倍,如果是关于x的奇函数,那积分结果为0.关于y的奇偶性也是一样,建立一个空间想象模型,做起来比较容易
如果积分区域d关于x轴对称,被积函数关于y为奇函数,则积分为零.如果积分区域d关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数,则积分等于d位于x轴右半部分积分的2倍.
具体问题具体分析 平移之后能利用对称性和奇偶性简化积分 我们就使用平移 ,当然要对奇偶对称性很熟练;至于什么面积之差就求出体积了 你还是发具体问题吧 没有什么定论. 被积分函数都化为常数了 当然区域面积之差就等于曲顶柱体的体积了.
二重积分坐标系变换
(1)那块d的形状很容易画出来的,就是左右各一个三角形,像一只蝴蝶一样的形状,我就不多说了.(2)极坐标变换之后,先看辐角t的范围,很简单,t有两个区间:-π/4<=t<.
记住这几点:x=rcosθ y=rsinθ x^2+y^2=r^2 dxdy=rdrdθ
二重积分中的极坐标转换为直角坐标,只要把被积函数中的ρcosθ,ρsinθ分别换成x,y.并把极坐标系中的面积元素ρdρdθ换成直角坐标系中的面积元素dxdy.即:ρcosθ=x ρsinθ=y ρdρdθ=dxdy